37) Analytická geometrie

Pokračování příkladu č. 6i
přímka p … výsledek viz výše. Normálový vektor na obrázku není – doplň si ho tam a
přesvědč se, že je na přímku p kolmý.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

7i)

a) Umístěte a popište vrcholy B, D a zakreslete čtyřúhelník ABCD. V záznamovém archu
obtáhněte obvod čtyřúhelníku propisovací tužkou.
b) Vypočtěte délku úhlopříčky BD. Nezaokrouhlujte.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2013, příklad č. 8
Body: 3
Výsledek:

a)

b) |BD| = 2

resp.

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
a) Nejprve narýsujeme vektor = ( –4, 2 ) … sestrojíme bod o souřadnicích [ –4, 2 ] ( to je
koncový bod vektoru ) a spojíme ho s počátkem ( to je počáteční bod vektoru ). Poté

pomocí dvou trojúhelníků umístíme vektor

tak, aby byl úhlopříčkou BD čtyřúhelníku

ABCD. Úhlopříčky všech rovnoběžníků ( tj. čtverců, obdélníků, kosočtverců,
kosodélníků ) se navzájem půlí ( čili jejich průsečík, tj. střed rovnoběžníku, dělí obě
úhlopříčky na 2 stejné části ) – musíme tedy najít střed úhlopříčky AC a ten musí být
totožný se středem druhé úhlopříčky BD. Pozor !!! – pokud jde o rovnoběžníky, tak jejich

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

Pokračování příkladu č. 7i
úhlopříčky jsou na sebe kolmé jen u čtverce a kosočtverce ( nikoli u obdélníku a
kosodélníku ) – v zadání není uvedeno, o jaký rovnoběžník se jedná, takže jeho úhlopříčky
na sebe nemusí být kolmé. Výsledný obrázek viz výše.
b) délka úhlopříčky BD = velikost vektoru

…

=

= ( –4, 2 )

l l =

√ ( u1 2 + u2 2 ) … velikost vektoru = ( u1, u2 )

l

l =

√ [ (–4)2 + 22 ] = √20 = ( částečné odmocnění ) √( 4 * 5 ) = √4 * √5 = 2√5

--------------------------------------------------

8i) Přímka q s normálovým vektorem

= ( 2; –1 ) leží v jedné rovině s přímkou p danou

parametrickým vyjádřením: x = 3 – 2t
y = t t R
Jaká je odchylka přímek p, q ? A) 0 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2013, příklad č. 24
Body: 2 Výsledek: E

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
Odchylku dvou přímek můžeme vypočítat pomocí vzorce ( viz teorie ). Nejprve ale
vyzkoušíme, zda přímky nejsou kolmé nebo rovnoběžné. Z parametrických rovnic je vidět na
první pohled, že směrový vektor přímky p má souřadnice ( –2, 1 ). Dále ihned vidíme, že
vektory ( 2, –1 ) a ( –2, 1 ) jsou rovnoběžné, neboť jsou to své nenulové násobky ( a sice (–1)
násobky ). Pokud si situaci načrtneme ( pozor – směrový vektor je s příslušnou přímkou
rovnoběžný, normálový vektor je na příslušnou přímku kolmý ), ihned uvidíme výsledek.
Přímky jsou na sebe kolmé, jejich odchylka je tedy 90 .
--------------------------------------------------