37) Analytická geometrie

= B – A = ( b1 – a1 , b2 – a2 ) = ( 5, 2 )

obecná rovnice přímky p: ax + by + c = 0
5x + 2y + c = 0
B[ 2; 1 ] Є p … 5*2 + 2*1 + c = 0
c = –12
p: 5x + 2y –12 = 0 … odpověď B
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

1p) V rovině je dán vektor = ( 6; –4 ). Dopočítejte souřadnice x nebo y následujících dvou
vektorů: a) vektoru = ( x; 2 ), který je násobkem vektoru
b) vektoru = ( 4; y ) kolmého k vektoru
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011 PUP, příklad č. 7
Body: 2 Výsledek: a) x = –3 resp. –3 resp. = ( –3; 2 )

b) y = 6 resp. 6 resp. = ( 4; 6 )

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
a) 2 nenulové vektory jsou rovnoběžné právě tehdy, když jeden je nějakým nenulovým
násobkem druhého.
Takže buď = k* nebo = k* ( k je nějaké nenulové číslo )
Na 1. pohled je vidět, že po vynásobení 2. souřadnice vektoru číslem (–2) dostáváme 2.
souřadnici vektoru . Totéž musí platit i pro 1. souřadnice, čili (–2)*x = 6 … x = –3
pro kontrolu: = ( 6; –4 ), = ( –3; 2 ) … (–2)* =
b) 2 nenulové vektory jsou na sebe kolmé právě tehdy, když jejich skalární součin je roven
nule.
Skalární součin vektorů = ( u1, u2 ), = ( v1, v2 ) je číslo ( nikoli vektor ), které
vypočítáme podle vzorce * = u1 * v1 + u2 * v2
* = ( 6; –4 ) * ( 4; y ) = 6*4 + (–4)*y = 24 – 4y
24 – 4y = 0 24 = 4y 6 = y
pro kontrolu: * = ( 6; –4 ) * ( 4; 6 ) = 6*4 + (–4)*6 = 24 – 24 = 0
--------------------------------------------------
1i) Přímka p je určena parametrickými rovnicemi: p: x = 3t
y = 4 – 2t t R
a) Určete směrový vektor přímky p.
b) Určete obě souřadnice průsečíku P přímky p se souřadnicovou osou x.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2010 (1), příklad č. 7
Body: 2 Výsledek: a) = ( 3; –2 ) b) P

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
a) Víme, že souřadnice směrového vektoru přímky jsou z jejích parametrických rovnic vždy
patrné na 1. pohled … = ( 3; –2 )
b) Víme, že osa x má obecnou rovnici y = 0 ( tj. 0x + 1y + 0 = 0 ). Máme-li početně zjistit
souřadnice průsečíku ( nebo průsečíků ) jakýchkoli dvou křivek, řešíme soustavu rovnic
těchto dvou křivek.
Nyní použijeme dosazovací metodu … vztah y = 0 ( rovnice osy x ) dosadíme do
2. parametrické rovnice přímky p – jejím vyřešením vypočteme parametr t a ten poté
dosadíme do 1. parametrické rovnice přímky p – jejím vyřešením vypočteme x-ovou
souřadnici hledaného průsečíku.
y = 4 – 2t 0 = 4 – 2t 2t = 4 t = 2
x = 3t x = 3*2 x = 6
průsečík přímky p s osou x … P

( y-ová souřadnice je rovna nule, což platí pro

každý bod ležící na ose x )
--------------------------------------------------