37) Analytická geometrie

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

1)

a)

b)

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011, příklad č. 7
Body: 3
Výsledek:

a)

b) B

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
a)
Umístění vektoru
Každý vektor můžeme tzv. umístit nekonečně mnoha způsoby ( přitom musíme zachovat
velikost i směr ) – stále se jedná o tentýž vektor, takže všechna umístění téhož vektoru

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

Pokračování příkladu č. 1
značíme stejným písmenem.
Souřadnice vektoru graficky
Vektor umístíme tak, aby jeho počáteční bod byl v počátku soustavy souřadnic. Pak pomocí
trojúhelníka s ryskou zjistíme souřadnice jeho koncového bodu – to jsou souřadnice vektoru.

Zadaný vektor má souřadnice ( –3, 4 ) – to jsou tedy i souřadnice koncového bodu vektoru u
takového jeho umístění, kdy je jeho počáteční bod v počátku soustavy souřadnic. Toto
umístění je ve výsledku znázorněno čárkovanou čarou.
Vektor znázorněný čárkovanou čarou umístíme tak, aby jeho počáteční bod byl v bodě A
( toto umístění je ve výsledku znázorněno plnou čarou ) – oba vektory musejí mít stejnou
velikost i směr.

b)
Koncový bod B vektoru

znázorněného plnou čarou má souřadnice ( což je vidět přímo

z obrázku ) [ –2; 3 ]. Navíc je můžeme vypočítat:
Souřadnice vektoru početně
Koncový bod mínus počáteční bod ( a tento symbolický zápis je třeba rozepsat po
souřadnicích ).
A [ a1, a2 ], B [ b1, b2 ] …

= B – A = ( b1 – a1 , b2 – a2 )

( –3, 4 ) = ( b1 – 1 , b2 – (–1) ) … 2 vektory se sobě rovnají, když mají stejné obě
souřadnice, tedy –3 = b1 – 1 4 = b2 – (–1)
–2 = b1 3 = b2
Konečný výsledek … B[ –2; 3 ]
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

2)

Která rovnice určuje přímku p? A) 2x – y + 2 = 0 B) x – 2y + 4 = 0

C) x – 4y – 2 = 0 D) x + 2y – 4 = 0 E) 2x + y – 2 = 0

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011, příklad č. 17
Body: 2 Výsledek: D

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
Na obrázku jsou patrné souřadnice tří bodů zadané přímky p: A[ –2; 3 ], B[ 0; 2 ], C[ 2; 1 ].
Směrovým vektorem přímky p je např. vektor

( ale také

,

atd. ).

= B – A = ( b1 – a1 , b2 – a2 ) = ( 2, –1 )

Normálovým vektorem přímky p je např. vektor o souřadnicích ( 1, 2 ) ( ale také ( –1, –2 )
atd. ). Souřadnicemi normálového vektoru jsou v obecné rovnici přímky proměnné a, b.
Obecná rovnice přímky … p: ax + by + c = 0 p: 1x + 2y + c = 0
Samotný normálový vektor k jednoznačnému určení přímky p nestačí ( přímek s tímto
normálovým vektorem je nekonečně mnoho ) – navíc je třeba znát alespoň 1 bod, kterým
přímka p prochází – souřadnice tohoto bodu musejí vyhovovat rovnici přímky p – po dosazení
těchto souřadnic do ještě neúplné rovnice přímky p tedy vypočítáme poslední neznámou, což
je c.
Např. A[ –2; 3 ] Є p … 1*(–2) + 2*3 + c = 0 c = – 4
p: 1x + 2y – 4 = 0 p: x + 2y – 4 = 0
--------------------------------------------------