37) Analytická geometrie

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

3)

a) Určete velikost vektoru

.

b) Doplňte souřadnice libovolného vektoru = (x,y), který je k vektoru

kolmý a má

dvojnásobnou velikost.
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2011, příklad č. 7
Body: 3 Výsledek: a) l

l = 5 b) = ( 6, 8 ) nebo = ( –6, –8 )

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
a) l l =

√ ( u1 2 + u2 2 ) … velikost vektoru = ( u1, u2 )

l

l =

√ [ 42 + (–3)2 ] = 5

b) 1. způsob

Vektor

dvakrát prodloužíme … 2 * ( 4, –3 ) = ( 8, –6 )

Přehozením souřadnic a následnou změnou znaménka u jedné z nich získáme vektor
kolmý a stejně dlouhý jako prodloužený vektor … buď ( 6, 8 ) nebo ( –6, –8 )
2. způsob

Najdeme libovolný pomocný vektor kolmý k vektoru

= ( 4, –3 ) … např. ( 3, 4 )

Hledaný vektor je s tímto pomocným vektorem rovnoběžný ( musí to tedy být nějaký
jeho nenulový násobek ) a jeho velikost musí být 10 jednotek.
= k * ( 3, 4 ) = ( 3k, 4k )
l l =

√ ( n1 2 + n2 2 ) 10 = √ [ (3k)2 + (4k)2 ] 100 = (3k)2 + (4k)2

100 = 9k

2 + 16k2 100 = 25k2 4 = k2 k1 = 2, k2 = –2

= ( 3k, 4k ) … pro k1 = 2 je to ( 6, 8 ), pro k2 = –2 je to ( –6, –8 )
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

4)

Která z uvedených přímek a, b, c, d, e je kolmá k přímce p ?
A) a: 2x – 3y + 7 = 0 B) b: 2x + 3y – 7 = 0 C) c: 2x – 3y – 7 = 0
D) d: 3x – 2y – 7 = 0 E) e: 3x + 2y +7 = 0
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2011, příklad č. 20
Body: 2 Výsledek: E

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
Na obrázku jsou patrné souřadnice tří bodů zadané přímky p: A[ –3; –2 ], B[ 0; 0 ], C[ 3; 2 ].
Směrovým vektorem přímky p je např. vektor

( ale také

,

atd. ).

= B – A = ( b1 – a1 , b2 – a2 ) = ( 3, 2 )

Normálovým vektorem přímky p je např. vektor o souřadnicích ( 2, –3 ) ( ale také ( –2, 3 )
atd. ). Hledaná přímka je k přímce p kolmá, normálový vektor hledané přímky je tedy kolmý
k normálovému vektoru přímky p – jeho souřadnice jsou tedy např. ( 3, 2 ) nebo ( –3, –2 )
( nebo jakýkoli jejich nenulový násobek ).
Souřadnicemi normálového vektoru jsou v obecné rovnici přímky proměnné a, b.
Obecná rovnice přímky … ax + by + c = 0
Z nabízených možností vyhovuje pouze možnost E.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

5) V rovině je dána přímka

Zapište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem O [0; 0] a je kolmá k přímce q.
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2012, příklad č. 11
Body: 2 Výsledek: x + 2y = 0

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
1. způsob – pomocí obecné rovnice
q: y = 2x – 1 q: 0 = 2x – y – 1 q: 2x – y – 1 = 0 … obecná rovnice přímky q
normálový vektor přímky q … = ( 2, –1 )
Přímky p, q jsou kolmé, takže jejich normálové vektory jsou také kolmé.
normálový vektor přímky p … např. = ( 1, 2 )
obecná rovnice přímky p: ax + by + c = 0 p: 1x + 2y + c = 0
O [0; 0] Є p … 1*0 + 2*0 + c = 0
c = 0
p: 1x + 2y + 0 = 0 p: x + 2y = 0

2. způsob – pomocí směrnicového tvaru rovnice přímky
Pokud jsou přímky p, q kolmé a obě mají směrnici ( tj. žádná z nich není rovnoběžná