37) Analytická geometrie
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie
9i) V rovině jsou dány přímky p a q. p: x = –3 + 2t
q: y = 0
y = – t t R
Do kterého z uvedených intervalů patří odchylka
φ přímek p, q ? A)
)
B)
) C)
) D)
) E)
)
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2014 (1), příklad č. 21
Body: 2 Výsledek: A …
φ = přibližně ( zaokrouhleno na stupně ) 27
Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
Odchylku dvou přímek můžeme vypočítat pomocí vzorce. Nejprve ale vyzkoušíme, zda
přímky nejsou kolmé nebo rovnoběžné. Z parametrických rovnic je vidět na první pohled, že
směrový vektor přímky p má souřadnice (2, –1 ).
Přímka q má obecnou rovnici y = 0, tj. 0x + 1y + 0 = 0 … normálový vektor přímky q má
tedy souřadnice ( 0, 1 ).
Vektory ( 2, –1 ) a ( 0, 1 ) evidentně nejsou rovnoběžné ( neboť to nejsou své nenulové
násobky ) a nejsou ani kolmé, neboť jejich skalární součin není roven nule …
… ( 2, –1 ) * ( 0, 1 ) = 2*0 + (–1)*1 = –1
Použijeme tedy vzorec pro výpočet odchylky dvou přímek.
Dvě přímky mají odchylku
φ, jejíž velikost vypočteme podle vzorce
cos
φ =
=
l u1 * v1 + u2 * v2 l : [ √ ( u1 2 + u2 2 ) * √ ( v1 2 + v2 2 ) ]
Vektory = ( u1, u2 ), = ( v1, v2 ) musí být oba buď směrové vektory daných přímek, nebo
to musí oba být normálové vektory daných přímek ( čili nesmí být jeden směrový a druhý
normálový ).
Pro výpočet použijme např. vektory směrové. Směrový vektor přímky p má souřadnice
(2, –1 ) a normálový vektor přímky q má souřadnice ( 0, 1 ), takže směrový vektor přímky
q má souřadnice např. ( 1, 0 ). Označíme např. = (2, –1 ) a = ( 1, 0 )
cos
φ =
=
l u1 * v1 + u2 * v2 l : [ √ ( u1 2 + u2 2 ) * √ ( v1 2 + v2 2 ) ] =
=
l 2*1 + (–1)*0 l : [ √ ( 22 + (–1)2 ) * √ ( 12 + 02 ) ] = 2 : ( √5 * √1 ) = 2 : √5 =
= přibližně 0,894427191
φ = přibližně ( zaokrouhleno na stupně ) 27 … φ Є < 0, ) = < 0 , 36 )
( π radiánů = 180° ) … odpověď A
--------------------------------------------------
Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie
10i)
Který zápis představuje obecnou rovnici přímky AC ? A) x + y + 3 = 0
B) x – y – 1 = 0 C) x – 2y – 3 = 0 D) 2x – y = 0 E) žádný z uvedených
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2014 (1), příklad č. 22
Body: 2 Výsledek: B
Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
Z obrázku je vidět, že bod A má souřadnice [ –1, –2 ]. Do obrázku si doplň bod C … je
zřejmé, že má souřadnice [ 3, 2 ] ( protější strany každého rovnoběžníku jsou rovnoběžné a
stejně dlouhé ). Směrovým vektorem přímky AC je např. vektor
= C – A = ( 4, 4 ).
Normálovým vektorem přímky AC je tedy např. vektor o souřadnicích ( 4, –4 ).
obecná rovnice přímky AC … ax + by + c = 0
4x – 4y + c = 0
např. A[ –1, –2 ] Є AC … 4*(–1) – 4*(–2) + c = 0
– 4 + 8 + c = 0
c = – 4
4x – 4y – 4 = 0 /: 4 x – y – 1 = 0 … odpověď B
--------------------------------------------------