Vybrané kapitoly ze středoškolské fyziky - Pro přípravný kurz k přijímacím zkouškám z fyziky na DFJP Univerzity Pardubice - Mechanika tuhého tělesa

Ek = . (2.38)

Tento vztah však nelze použít v případě tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy, kdy rychlost v jednotlivých jeho bodů závisí na jejich vzdálenosti od osy otáčení. Zde při výpočtu pohybové energie Ek musíme provést následující postup, kdy si tuhé těleso o celkové hmotnosti m „rozdělíme“ na velmi malé části (hmotné body) o hmotnostech ∆mi , přičemž musí platit

∆m1 + ∆m2 + ∆m3 + ...... + ∆mn = m .

Na vedlejším obr. 3.6 je znázorněn řez jistým tuhým tělesem, jež je veden kolmo k ose otáčení o (ta na obr. vystupuje kolmo z nákresny). Jak je patrné, jednotlivé elementy ∆mi opisují při rotaci kruhové trajektorie o různých poloměrech ri. Okamžité rychlosti vi těchto elementů jsou různé a postupně vzrůstají s rostoucí vzdáleností ri od osy otáčení. Jelikož však mají všechny body v daném časovém okamžiku stejnou úhlovou rychlost ω , pro libovolný element tělesa hmotnosti ∆mi vzdálený od osy otáčení ri musí platit, že velikost jeho rychlosti vi je rovna

vi = ri . ω .

Vyjádříme-li kinetickou energii Ek rotujícího tělesa jako součet pohybových energií ∆ všech jeho elementů ∆mi , dostaneme

Ek = ∆m1 v12 + ∆m2 v22 + ∆m3 v32 + ...... + ∆mn vn2 =

= ∆m1 r12ω 2 + ∆m2 r22ω 2 + ∆m3 r32ω 2 + ...... + ∆mn rn2ω 2 =

= ω 2 . ( ∆m1 r12 + ∆m2 r22 + ∆m3 r32 + ...... + ∆mn rn2 )

Výraz v závorce

∆m1 r12 + ∆m2 r22 + ∆m3 r32 + ...... + ∆mn rn2

je fyzikální veličinou, jež vlastně vyjadřuje rozložení hmotnosti tělesa kolem osy otáčení o a nazývá se moment setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k dané ose otáčení. Jedná se o typickou skalární fyzikální veličinu, kterou označujeme písmenem J.

Fyzikální jednotkou momentu setrvačnosti − jak je patrné i z jeho definice − je kg.m2 .

Zjednodušeně lze říci, že u rotačních pohybů vystupuje moment setrvačnosti J tuhého tělesa „ve stejné roli“ jako hmotnost m u pohybů hmotného bodu nebo u posuvných pohybů těles.

Kinetickou energii Ek tuhého tělesa, jež vykonává pouze rotační pohyb kolem osy otáčení, lze tak pomocí momentu setrvačnosti vyjádřit vztahem

Ek = . (3.11)

Vykonává-li těleso složený valivý pohyb, t.j. současně pohyb posuvný i rotační (např. valící se roura, kolo každého jedoucího dopravního prostředku, atd.), je jeho celková pohybová energie rovna součtu kinetické energie posuvného pohybu a kinetické energie otáčivého pohybu

Ek = + . (3.12)

3.5 Moment setrvačnosti tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy

Jak bylo již řečeno při odvození kinetické energie rotujícího tělesa, je moment setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k dané ose otáčení skalární fyzikální veličinou, jež vyjadřuje, jak je hmotnost tělesa rozložena vzhledem k této ose otáčení. Je definován vztahem

J = ∆m1 r12 + ∆m2 r22 + ∆m3 r32 + ...... + ∆mn rn2 = . (3.13)