Neurcity_integral

asobn´

ych komplexnˇ

e sdruˇ

zen´

ych koˇren˚

u.

Odstavec 5. Nauˇ

c´ıte se, jak volit substituce, abyste pˇrevedli integr´

aly nˇ

ekter´

ych

goniometrick´

ych funkc´ı na racion´

aln´ı funkce. Mˇ

eli byste umˇ

et pouˇ

z´ıt tyto jed-

notliv´

e goniometrick´

e substituce. Na z´

akladˇ

e znalost´ı vztah˚

u mezi goniomet-

rick´

ymi funkcemi umˇ

et vypoˇ

c´ıtat integr´

aly ze souˇ

cin˚

u funkc´ı sinus a kosinus

r˚

uzn´

ych argument˚

u.

Odstavec 6. Sezn´

am´ıte se s t´ım, jak m˚

uˇ

zete racionalizovat nˇ

ekter´

e integr´

aly ob-

sahuj´ıc´ı odmocniny. Je zapotˇreb´ı umˇ

et tyto substituce spr´

avnˇ

e urˇ

cit a je-

jich pouˇ

zit´ım pˇrev´

est integrand na racion´

aln´ı funkci. Pˇripomeneme si, ˇ

ze pro

v´

ypoˇ

cet nˇ

ekter´

ych typ˚

u integr´

al˚

u obsahuj´ıc´ıch odmocniny m˚

uˇ

zete pouˇ

z´ıt 1.

substituˇ

cn´ı metodu nebo metodu per partes. Tak´

e tyto poˇ

cetn´ı postupy mus´ıte

zvl´

adnout.

1.2

Poˇ

zadovan´

e znalosti.

Dobˇre ovl´

adat derivov´

an´ı funkc´ı, rozklady racion´

aln´ıch funkc´ı na parci´

aln´ı zlomky,

zn´

at z´

akladn´ı vztahy mezi goniometrick´

ymi funkcemi.

1.3

Doba potˇ

rebn´

a ke studiu.

Pˇribliˇ

znˇ

e lze odhadnout potˇrebnou dobu ke studiu jednorozmˇ

ern´

eho integr´

alu na 15

hodin. Pro z´ısk´

an´ı zkuˇsenost´ı a zruˇ

cnosti ve v´

ypoˇ

ctu primitivn´ıch funkc´ı bude jeˇstˇ

e

zˇrejmˇ

e zapotˇreb´ı dalˇs´ı ˇ

cas z´

avisl´

y na dosavadn´ı poˇ

cetn´ı praxi studenta.

4

1.4

Kl´ıˇ

cov´

a slova.

Primitivn´ı funkce, neurˇ

cit´

y integr´

al, vlastnosti neurˇ

cit´

eho integr´

alu, metoda per

partes, prvn´ı a druh´

a substituˇ

cn´ı metoda, integrace racion´

aln´ı funkce, integrace go-

niometrick´

ych funkc´ı, integrace iracion´

aln´ıch funkc´ı.

5

2

Z´

akladn´ı pojmy.

Definice 2.1. ˇ

Rekneme, ˇ

ze funkce F

je primitivn´ı funkc´ı k funkci f

na otevˇ

ren´

em intervalu I ⊂ R, jestliˇze pro kaˇzd´e x ∈ I plat´ı

F

0 (x) = f (x) .

Pozn´

amka 2.1.

(a) Necht’ F je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na otevˇren´

em intervalu I. Potom funkce

Fc (x) = F (x) + c, x ∈ I, kde c ∈ R je libovoln´a konstanta, je tak´e primitivn´ı
funkc´ı k funkci f na intervalu I.

Obr´

azek 1: Nejednoznaˇ

cnost existence primitivn´ı funkce.

(b) Pro libovoln´

y bod x0 ∈ I a kaˇzd´e y0 ∈ R existuje jedna primitivn´ı funkce F

k funkci f na I, pro kterou plat´ı F (x0) = y0 (graf funkce F proch´

az´ı bodem

[x0, y0]).

(c) Funkce F je spojit´

a na intervalu I.

Pozn´

amka 2.2. Jsou-li F , G primitivn´ı funkce k funkci f na otevˇren´

em intervalu

I, pak existuje takov´

e ˇ

c´ıslo c ∈ R, ˇze plat´ı G (x) = F (x) + c na I. Mnoˇzinu vˇsech

tˇ

echto primitivn´ıch funkc´ı obvykle naz´

yv´

ame neurˇ

cit´

ym integr´

alem funkce f na I a

znaˇ

c´ıme jej

R f (x) dx.

6

Pozn´

amka 2.3. V literatuˇre je moˇ

zn´

e se tak´

e setkat s definic´ı primitivn´ıch funkc´ı