Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
I1 −
3
2
I2
I1 =
x2 + 3x + 3 = t,
t > 0
(2x + 3)dx = dt
=
Z
1
t
dt = ln t = ln(x
2 + 3x + 3),
I2 =
Z
1
(x +
3
2 )
2 + 3
4
dx =
4
3
Z
1
(
2x+3
√
3
)2 + 1
dx =
2x+3
√
3
= t
dx =
√
3
2 dt
=
2
√
3
3
Z
dt
t2 + 1
=
2
√
3
3
arctg t =
2
√
3
3
arctg t =
2
√
3
3
arctg
2x + 3
√
3
.
16
Celkem
1
2
I1 −
3
2
I2 =
1
2
ln(x
2 + 3x + 3) −
√
3 arctg
2x + 3
√
3
+ c,
kde c ∈ R je libovoln´e.
Pˇ
r´ıklad 4.3.
Z
2x + 1
9x2 + 6x + 5
dx =
1
9
Z
18x + 6
9x2 + 6x + 5
dx +
1
3
Z
1
9x2 + 6x + 5
dx
=
1
9
I1 +
1
3
I2
I1 =
9x2 + 6x + 5 = t
(18x + 6)dx = dt
=
Z
1
t
dt = ln |t| + c1 = ln(9x
2 + 6x + 5) + c
1
I2 =
Z
1
(3x + 1)2 + 4
dx =
3x + 1 = t
3 dx = dt
=
1
3
Z
1
t2 + 4
dt
=
1
6
arctg
3x + 1
2
+ c2.
Celkem dost´
av´
ame
Z
2x + 1
9x2 + 6x + 5
dx =
1
9
ln(9x
2 + 6x + 5) +
1
18
arctg
3x + 1
2
+ c.
Zb´
yv´
a n´
am integrace parci´
aln´ıch zlomk˚
u tvaru
Bx + C
(px2 + qx + r)
k ,
k > 1, k ∈ N.
Nejdˇ
r´ıve uprav´ıme integrand na tvar
K
f 0(x)
(f (x))
k + L
1
(f (x))
k .
Prvn´ı sˇ
c´ıtanec integrujeme podle prvn´ı substituˇ
cn´ı metody, ve druh´
em sˇ
c´ıtanci up-
rav´ıme v´
yraz 1/ (f (x))
k na tvar 1/ (t2 + a2)
k
a primitivn´ı funkci urˇ
c´ıme uˇ
zit´ım rekurentn´ıho
vztahu
Z
1
(t2 + a2)
k+1 dt =
1
2ka2
t
(t2 + a2)
k + (2k − 1)
Z
1
(t2 + a2)
k dt
!
.
Nyn´ı si tento rekurentn´ı vztah odvod´ıme uˇ
zit´ım metody per partes. Oznaˇ
cme
Jk =
Z
1
(t2 + a2)
k dt.
17
Jk =
u(x) =
1
(t2 + a2)
k
v0 (t) = 1
u0 (x) = −
2kt
(t2 + a2)
k+1
v(t) = t
=
t
(t2 + a2)
k + 2k
Z
t2
(t2 + a2)
k+1 dt
=
t
(t2 + a2)
k + 2k
Z
(t2 + a2) − a2
(t2 + a2)
k+1
dt
=
t
(t2 + a2)
k + 2k
Z
1
(t2 + a2)
k dt − 2ka
2
Z
1
(t2 + a2)
k+1 dt
a odtud dost´
av´
ame rovnici
Jk =
t
(t2 + a2)
k + 2kJk − 2ka
2J
k+1.
Pˇ
r´ıklad 4.4. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
1
x3 − 1
dx
na (1, ∞).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
1
x3 − 1
dx =
1
3
Z
1
x − 1
dx −
1
3
Z
x + 2
x2 + x + 1
dx =
1
3
(I1 − I2)
I1 =
x − 1 = t,
t > 0
dx = dt
=
Z
1
t
dt = ln t = ln(x − 1),
I2 =
Z
1
2 (2x + 1) +
3
2
x2 + x + 1
dx =
1
2
Z
2x + 1
x2 + x + 1
dx +
3
2
Z
1
x2 + x + 1
dx
=
1
2
J1 +
3
2
J2
J1 =
x2 + x + 1 = t
(2x + 1)dx = dt
=
Z
1
t
dt = ln t = ln(x
2 + x + 1)
J2 =
Z
1
x +
1
2
2
+
3
4
dx =
4
3
Z
1
2x+1
√
3
2
+ 1
dx =
2x+1
√
3
= t
dx =
√
3
2 dt
=
2
√
3
Z
1
t2 + 1
dt =
2
√
3
arctg t =
2
√
3
arctg
2x + 1
√
3
+ c
Celkem tedy
Z
1
x3 − 1
dx = ln
3
√
x − 1 − ln
6
√
x2 + x + 1 −
1
√
3
arctg
2x + 1
√
3
+ c
pro x ∈ (1, ∞).
18
Pˇ
r´ıklad 4.5.
Z
2x + 3
(4x2 − 4x + 3)
2 dx
=
1
4
Z
8x − 4
(4x2 − 4x + 3)
2 dx + 4
Z
1
(2x − 1)
2 + 2
2 dx
=
1
4
I1 + 4I2,
I1 =
4x2 − 4x + 3 = t
(8x − 4)dx = dt
=
Z
1
t2
dt = −
1
t
+ c1 = −
1
4x2 − 4x + 3
+ c1
I2 =
Z
1
(2x − 1)
2 + 2
2 dx =
2x − 1 = t
2 dx = dt
=
1
2
Z
1
(t2 + 2)
2 dt
=
1
2
t
4 (t2 + 2)
+
1
4
Z
1
t2 + 2
dt
!
=
1
8
t
t2 + 2
+
1
√
2
arctg
t
√
2
!
+ c2
=
1
8
2x − 1
4x2 − 4x + 3
+
1
√
2
arctg
2x − 1
√
2
!
+ c2.
Z´
avˇ
erem m´
ame
Z
2x + 3
(4x2 − 4x + 3)
2 dx =
4x − 3