Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1+t2
(1 + t2)
dt =
Z
1
2t2 − 5t + 2
dt
=
1
3
Z
1
t − 2
−
2
2t − 1
dt + c =
1
3
(ln |t − 2| − ln |2t − 1|) + c
=
1
3
ln
tg
x
2 − 2
2 tg
x
2 − 1
+ c.
5.2
Typ R sin αx sin βx dx .
Necht’ α, β ∈ R. K v´ypoˇctu integr´al˚
u
Z
sin αx sin βx dx,
Z
sin αx cos βx dx,
Z
cos αx cos βx dx.
pouˇ
zijeme vzorce
sin αx sin βx =
1
2
[cos(α − β)x − cos(α + β)x] ,
cos αx cos βx =
1
2
[cos(α − β)x + cos(α + β)x] ,
sin αx cos βx =
1
2
[sin(α + β)x + sin(α − β)x] .
Pˇ
r´ıklad 5.4. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci sin 3x cos 2x na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Pouˇ
zijeme vzorec
sin αx cos βx =
1
2
[sin(α + β)x + sin(α − β)x] .
Z
sin 3x cos 2x dx =
1
2
Z
(sin 5x + sin x) dx = −
1
10
cos 5x −
1
2
cos x + c.
22
5.3
Typ R sin
m x cosn x dx .
Necht’ m, n jsou cel´
a nez´
aporn´
a a sud´
a ˇ
c´ısla. Pro v´
ypoˇ
cet integr´
alu
Z
sin
m x cosn x dx
pouˇ
zijeme vzorce
sin
2 x =
1
2
(1 − cos 2x) ,
cos
2 x =
1
2
(1 + cos 2x) ,
sin 2x = 2 sin x cos x.
Pˇ
r´ıklad 5.5. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci sin
4 x cos2 x na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
sin
4 x cos2 x dx =
1
4
Z
sin
2 2x sin2 x dx =
1
16
Z
(1 − cos 4x) (1 − cos 2x) dx
=
1
16
Z
(1 − cos 2x − cos 4x + cos 4x cos 2x) dx
=
1
16
Z
dx −
Z
cos 4x dx −
Z
cos 2x dx +
Z
cos 4x cos 2x dx
=
1
16
x −
1
4
sin 4x −
1
2
sin 2x +
1
4
sin 2x +
1
12
sin 6x
+ c
=
1
16
x −
1
4
sin 4x −
1
4
sin 2x +
1
12
sin 6x
+ c.
Cviˇ
cen´ı 5.1. Spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
a)
Z
sin x cos2 x
cos2 x + 1
dx
na R;
b)
Z
sin
5 x cos x
1 + 2 cos x + cos2 x
dx
na (−π, π) ;
c)
Z
sin
3 x
2 + cos x
dx
na R;
d)
Z
1
1 + cos2 x
dx
na R;
e)
Z
1
sin
2 x + 3 sin x cos x
dx
na
0,
π
2
;
f)
Z
1
cos x − 2 sin x + 5
dx
na R.
6
Integrace iracion´
aln´ıch funkc´ı.
Opˇ
et odliˇs´ıme dva z´
akladn´ı typy integr´
al˚
u iracion´
aln´ıch funkc´ı.
23
6.1
Typ R R
x, q1
r
ax+b
cx+d ,
q2
r
ax+b
cx+d , . . . ,
qm
r
ax+b
cx+d
dx .
Necht’ R je racion´
aln´ı funkce m + 1 promˇ
enn´
ych. Uvaˇ
zujme funkci
R
x,
q1
s
ax + b
cx + d
,
q2
s
ax + b
cx + d
, . . . ,
qm
s
ax + b
cx + d
,
kde a, b, c, d ∈ R, pˇriˇcemˇz ad − bc 6= 0.
Integraci funkc´ı tohoto typu lze pˇ
rev´
est na integraci funkc´ı racion´
aln´ıch v promˇ
enn´
e
t. Vyjdeme-li ze vztahu
ax + b
cx + d
= t
s,
kde s je nejmenˇ
s´ı spoleˇ
cn´
y n´
asobek ˇ
c´ısel q1, q2,...,qm, dostaneme
x =
dts − b
a − cts
.
Pˇ
r´ıklad 6.1. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
x
s
4x + 1
x − 1
na intervalu (1, ∞).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
1
x
s
4x + 1
x − 1
dx =
4x+1
x−1
= t2
x =
t2+1
t2−4
dx =
−10t
(t2−4)
2 dt
= −10
Z
t2
(t2 + 1) (t2 − 4)
dt = 2
Z
−
1
t2 + 1
+
1
t + 2
−
1
t − 2
dt
= 2 ln
t + 2
t − 2
− 2 arctg t + c
= 2 ln
q 4x+1
x−1 + 2
q 4x+1
x−1 − 2
− 2 arctg
s
4x + 1
x − 1
+ c.
Pˇ
r´ıklad 6.2. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
√
x − 3
√
x
x 4
√
x + x 3
√
x
na intervalu (0, ∞).