Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
t2 + 1 = x
2t dt = dx
=
1
2
Z
cos x dx
=
1
2
sin x + c =
1
2
sin
t
2 + 1
+ c.
b) g (t) =
t
3 + 2t4
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
t
3 + 2t4
dt =
t2 = u
2tdt = du
=
1
2
Z
1
3 + 2u2
du
=
1
6
Z
1
1 +
√
2u
√
3
2 du =
√
2
√
3
u = x
√
2
√
3
du = dx
=
1
2
√
6
Z
1
1 + x2
dx =
1
2
√
6
arctg x + c
=
√
6
12
arctg
t2
√
6
3
+ c.
Vˇ
eta 3.2. (Druh´
a substituˇ
cn´ı metoda.) Necht’ funkce ϕ zobrazuje otevˇ
ren´
y interval
I na interval J a necht’ m´
a koneˇ
cnou derivaci ϕ0 6= 0 na I. Je-li G primitivn´ı funkc´ı
k funkci (f ◦ ϕ) ϕ0 na I, pak funkce G ◦ ϕ−1 je primitivn´ı k f na J a plat´ı
Z
f (x) dx =
Z
f (ϕ(t)) ϕ
0(t) dt = G(t) + c = G
ϕ
−1(x)
+ c.
11
D˚
ukaz. Z pˇredpokladu, ˇ
ze ϕ0 6= 0 plyne, ˇ
ze funkce ϕ je spojit´
a a ϕ0 > 0 nebo
ϕ0 < 0. Z tohoto dost´
av´
ame, ˇ
ze funce ϕ je ryze monotonn´ı a existuje tedy inverzn´ı
funkce ϕ−1, kter´
a je spojit´
a a m´
a koneˇ
cnou derivaci. Pro libovoln´
e x ∈ J tedy plat´ı
G
ϕ
−1(x)
0
= G
0
ϕ
−1(x)
ϕ
−1(x)
0
= G
0(t)
1
ϕ0(t)
= f (ϕ(t)) ϕ
0(t)
1
ϕ0(t)
= f (ϕ(t)) = f (x).
Pˇ
r´ıklad 3.2. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
√
1 − x2 na intervalu J = (−1, 1).
ˇ
Reˇ
sen´ı. Poloˇ
zme ϕ(t) = sin t, I = (−π/2, π/2), ϕ : (−π/2, π/2) → (−1, 1), ϕ0 6= 0
na J .
Z
√
1 − x2 dx =
x = sin t = ϕ (t)
t = arcsin x = ϕ−1 (t)
dx = cos t dt
=
Z
q
1 − sin
2 t cos t dt
=
Z
|cos t| cos t dt =
Z
cos
2 t dt
=
Z
1 + cos 2t
2
dt =
1
2
t +
1
2
sin 2t
=
1
2
(t + sin t cos t) =
1
2
t + sin t
q
1 − sin
2 t
=
1
2
arcsin x + x
√
1 − x2
+ c.
Vˇ
eta 3.3. (Metoda per partes.) Necht’ funkce u, v maj´ı spojit´
e derivace na otevˇ
ren´
em
intervalu I. Potom na I plat´ı
Z
u(x)v
0 (x) dx +
Z
u
0 (x) v (x) dx = u(x)v (x) .
D˚
ukaz. Plyne z vˇ
ety o derivaci souˇ
cinu funkc´ı a definice primitivn´ı funkce.
Pˇ
r´ıklad 3.3. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k dan´
e funkci na dan´
em intervalu:
(a) f (x) = xex na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
xe
x dx =
u(x) = x
v0 (x) = ex
u0 (x) = 1 v(x) = ex
= xe
x −
Z
e
x dx = (x − 1) ex + c.
12
(b) f (x) = ln x na (0, ∞).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
ln x dx =
u(x) = ln x
v0 (x) = 1
u0 (x) = 1/x v(x) = x
= x ln x −
Z
dx = x (ln x − 1) + c.
(c) f (x) =
ln
2 x
x2
na (0, ∞).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
ln
2 x
x2
dx =
u(x) = ln
2 x, v0(x) =
1
x2
u0(x) =
2 ln x
x
,
v(x) = −
1
x
= −
ln
2 x
x
+ 2I,
kde
I
=
Z
ln x
x2
dx =
u(x) = ln x, v0(x) =
1
x2
u0(x) =
1
x ,
v(x) = −
1
x
= −
ln x
x
+
Z
1
x2
dx = −
ln x
x
−
1
x
= −
ln x + 1
x
+ c.
Celkem tedy
Z
ln
2 x
x2
dx = −
ln
2 x + 2 ln x + 2
x
+ c,
x ∈ R
+.
(d) f (x) = x
3 arctg x na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
x
3 arctg x dx =
u(x) = arctg x, v0(x) = x3
u0(x) =
1
1+x2 ,
v(x) =
1
4 x
4
=
x4
4
arctg x −
1
4
Z
(x4 − 1) + 1
x2 + 1
dx
=
x4
4
arctg x −
1
4
Z
x
2 − 1 +
1
x2 + 1
dx
=
x4
4
arctg x −
1
4
x3
3
− x + arctg x
!
=
x4 − 1
4
arctg x −
x3
12
+
x
4
+ c.
13
Pˇ
r´ıklad 3.4. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
I =
Z
e