Neurcity_integral

na obecnˇ

ejˇs´ıch mnoˇ

zin´

ach, neˇ

zli jsou intervaly (napˇr. sjednocen´ı interval˚

u). Tato

obecnˇ

ejˇs´ı definice vˇsak m´

a nˇ

ekter´

e nev´

yhody (napˇr. primitivn´ı funkce se nemus´ı liˇsit

o konstantu).

V dalˇs´ım textu se sezn´

am´ıme s r˚

uzn´

ymi metodami v´

ypoˇ

ctu primitivn´ıch funkc´ı. Je

vhodn´

e si ale uvˇ

edomit, ˇ

ze i kdyˇ

z n´

am n´

asleduj´ıc´ı Vˇ

eta 2.1 zaruˇ

cuje existenci prim-

itivn´ı funkce ke kaˇ

zd´

e spojit´

e funkci na otevˇren´

em intervalu, pˇresto se v aplikaˇ

cn´ıch

´

uloh´

ach vyskytuj´ı takov´

e spojit´

e funkce na intervalu, k nimˇ

z neexistuj´ı primitivn´ı

funkce, kter´

e se daj´ı vyj´

adˇrit jako koneˇ

cn´

e line´

arn´ı kombinace funkc´ı sloˇ

zen´

ych z

element´

arn´ıch funkc´ı. Patˇr´ı k nim napˇr.

Z

ex

x

dx,

Z

e

−x2 dx,

Z

sin x

2 dx,

Z

cos x

x

dx,

Z

1

√

1 − k2 sin

2 x

dx,

kde 0 < k < 1, apod. ˇ

R´ık´

ame pak ˇ

casto, ˇ

ze tyto integr´

aly jsou tzv. neelement´

arn´ı.

Vˇ

eta 2.1. Kaˇ

zd´

a funkce spojit´

a na otevˇ

ren´

em intervalu I m´

a na tomto intervalu

primitivn´ı funkci.

Pˇ

r´ıklad 2.1. Uk´

aˇ

zeme pˇr´ıklad konstrukce primitivn´ı funkce F k funkci f v inter-

valu (0, 2). Funkce f je d´

ana takto:

f (x) =

x,

x ∈ (0, 1] ,

1,

x ∈ (1, 2) .

Podle Vˇ

ety 2.1 primitivn´ı funkce existuje. Zvolme primitivn´ı funkce v jednotliv´

ych

intervalech takto:

F1(x) =

1

2

x

2,

x ∈ (0, 1) ,

F2(x) = x + d,

x ∈ (1, 2) ,

kde d je konstanta. Protoˇ

ze funkce F mus´ı b´

yt spojit´

a, zvol´ıme konstantu d tak, aby

lim

x→1+

F2(x) = lim

x→1−

F1(x) =

1

2

.

Odtud d = −1/2. Tedy celkem

F (x) =

1

2

x

2,

x ∈ (0, 1] ,

x −

1

2

,

x ∈ (1, 2) .

Pˇritom

F

0

+(1) =

lim

x→1+

x −

1
2 −

1
2

x − 1

= 1,

F

0

−(1) = lim

x→1−

x2

2 −

1
2

x − 1

=

1

2

lim

x→1−

(x + 1) = 1.

Vid´ıme tedy, ˇ

ze funkce F je spojit´

a v bodˇ

e 1 a F 0(x) = f (x) pro kaˇ

zd´

e x ∈ (0, 2).

Je tedy funkce F primitivn´ı k funkci f na (0, 2).
Grafy funkc´ı f a F jsou zn´

azornˇ

eny na obr´

azku 2.

7

Pozn´

amka 2.4. Funkce g definovan´

a na intervalu (0, 2) takto

g(x) =

x,

x ∈ (0, 1] ,

2,

x ∈ (1, 2) ,

nem´

a na tomto intervalu primitivn´ı funkci ve smyslu naˇs´ı definice.

Pozn´

amka 2.5. Existuj´ı vˇsak i nespojit´

e funkce, k nimˇ

z je moˇ

zno nal´

ezt primitivn´ı

funkce.

Vˇ

eta 2.2. Jestliˇ

ze existuj´ı primitivn´ı funkce k funkc´ım f a g na otevˇ

ren´

em inter-

valu I, pak plat´ı

Z

cf (x) dx = c

Z

f (x) dx,

Z

(f (x) + g (x)) dx =

Z

f (x) dx +

Z

g (x) dx,

kde c 6= 0 je libovoln´

a re´

aln´

a konstanta.

Obr´

azek 2: Pˇr´ıklad 2.1.

8

Pozn´

amka 2.6. Zobrazen´ı A f →

R f dx je line´

arn´ı zobrazen´ı line´

arn´ıho prostoru

C0(I) do line´

arn´ıho prostoru C1 (I). Toto tvrzen´ı plyne z Vˇ

ety 2.2.

Tabulkov´

e integr´

aly.

Z tabulky derivac´ı dost´

av´

ame okamˇ

zitˇ

e tabulku primitivn´ıch funkc´ı. V n´

asleduj´ıc´ıch