Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
vzorc´ıch je c ∈ R libovoln´a konstanta:
Z
x
n dx =
xn+1
n + 1
+ c,
x ∈ R, n ∈ N ∪ {0},
Z
x
α dx =
xα+1
α + 1
+ c,
x ∈ (0, ∞), α ∈ R, α 6= −1,
Z
1
x
dx = ln |x| + c,
x ∈ (0, ∞) nebo x ∈ (−∞, 0),
Z
a
x dx =
ax
ln a
+ c,
x ∈ R, a > 0, a 6= 1 je konstanta,
Z
sin x dx =
− cos x + c,
x ∈ R,
Z
cos x dx = sin x + c,
x ∈ R,
Z
1
sin
2 x
dx =
− cot x + c,
x ∈ (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,
Z
1
cos2 x
dx = tg x + c,
x ∈ ((2k − 1)π/2, (2k + 1)π/2), k ∈ Z,
Z
1
√
1 − x2
dx = arcsin x + c,
x ∈ (−1, 1),
Z
1
1 + x2
dx = arctg x + c,
x ∈ R,
Z
sinh x dx = cosh x + c,
x ∈ R,
Z
cosh x dx = sinh x + c,
x ∈ R,
Z
1
cosh
2 x
dx = tanh x + c,
x ∈ R,
Z
1
sinh
2 x
dx =
− coth x + c,
x ∈ (0, ∞) nebo x ∈ (−∞, 0).
Pozn´
amka 2.7. (k druh´
emu vzorci v pˇredeˇsl´
e tabulce - moˇ
znost rozˇs´ıˇren´ı inte-
graˇ
cn´ıch obor˚
u)
Je-li α = p/q ∈ Q, α 6= −1, p, q nesoudˇeln´a, pak
9
(a)
je-li α > 0 a
q sud´
e, pak x ∈ (0, ∞),
q lich´
e, pak x ∈ R,
(b)
je-li α < 0 a
q sud´
e, pak x ∈ (0, ∞),
q lich´
e, pak x ∈ (−∞, 0) nebo x ∈ (0, ∞),
Pˇ
r´ıklad 2.2. Hmotn´
y bod kon´
a pˇr´ımoˇ
car´
y pohyb takov´
y, ˇ
ze jeho zrychlen´ı roste
rovnomˇ
ernˇ
e s ˇ
casem a za prvn´ıch 10 s pohybu naroste z nulov´
e hodnoty na 5 m · s−2.
Jak´
a je rychlost pohybu hmotn´
eho bodu v ˇ
case t = 10 s a jakou dr´
ahu hmotn´
y bod
vykonal, jestliˇ
ze v ˇ
case t = 0 byl v klidu?
ˇ
Reˇ
sen´ı. Zˇrejmˇ
e pro zrychlen´ı a plat´ı a = kt, kde k = a10/t10 = 1/2 m · s
−3. Odtud
v(t) =
Z
a(t) dt =
Z
kt dt =
1
2
kt
2 + c.
Protoˇ
ze v(0) = 0 dost´
av´
ame, ˇ
ze c = 0. Odtud v(10) = 25 m · · ·−1. Pro dr´
ahu s m´
ame
s(t) =
Z
v(t) dt =
k
2
Z
t
2 dt =
1
6
kt
3 + d.
Vzhledem k tomu, ˇ
ze s(0) = 0 dost´
av´
ame, ˇ
ze d = 0 a tedy s(10) = 83.33 m.
Cviˇ
cen´ı 2.1. Uˇ
zit´ım z´
akladn´ıch vztah˚
u spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
a)
Z
x
3 −
1
x
+
4
√
x
2
+
6
3
√
x2
!
dx
na (0, ∞) ;
b)
Z
x4 − 3x2 − 1
√
x
dx
na (0, ∞) ;
c)
Z
x − 1
1 +
√
x
dx
na (0, ∞) ;
d)
Z
cos2 x
1 + sin x
dx
na
−
π
2
,
3π
2
;
e)
Z
sin
2 x
2
dx
na R;
f)
Z
tg
2 x dx na
−
π
2
,
π
2
.
10
3
Z´
akladn´ı integraˇ
cn´ı metody.
Vˇ
eta 3.1. (Prvn´ı substituˇ
cn´ı metoda.) Necht’ funkce f m´
a primitivn´ı funkci F na
otevˇ
ren´
em intervalu J . Necht’ funkce ϕ zobrazuje otevˇ
ren´
y interval I do J a m´
a na
intervalu I koneˇ
cnou derivaci. Potom F ◦ ϕ je primitivn´ı funkc´ı k funkci (f ◦ ϕ) ϕ0
na intervalu I a plat´ı
Z
f (ϕ (t)) ϕ
0 (t) dt = F (ϕ (t)) + c,
c ∈ R.
D˚
ukaz. Plyne pˇr´ımo z vˇ
ety o derivaci sloˇ
zen´
e funkce.
Pˇ
r´ıklad 3.1. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k dan´
e funkci g(t) na dan´
em intervalu:
a) g (t) = t cos(t2 + 1) na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Dan´
a funkce je spojit´
a na R a podle Vˇety 2.1 existuje primitivn´ı
funkce.
Z
t cos
t
2 + 1
dt =