Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
24
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
√
x − 3
√
x
x 4
√
x + x 3
√
x
dx =
x = t12
dx = 12t11 dt
= 12
Z
t6 − t4
t15 + t16
t
11 dt = 12
Z
t2 − 1
t + 1
dt
= 12
Z
(t − 1) dt = 6t
2 − 12t + c = 6 6
√
x − 12
12
√
x + c.
6.2
Typ R R(x,
√
px2 + qx + r) dx .
Necht’
R(u, v) =
P (u, v)
Q(u, v)
je racion´
aln´ı funkce dvou promˇ
enn´
ych u, v a p, q, r ∈ R, p 6= 0. Uvaˇzujme integr´al
Z
R(x,
q
px2 + qx + r) dx .
Pokud m´
a polynom px2 + qx + r
• dvojn´
asobn´
y re´
aln´
y koˇren, pak jde o integraci racion´
aln´ı funkce;
• dva r˚
uzn´
e re´
aln´
e koˇreny, pak m˚
uˇ
zeme pˇrev´
est integr´
al na integr´
al typu
Z
R
x,
q1
s
ax + b
cx + d
,
q2
s
ax + b
cx + d
, . . . ,
qm
s
ax + b
cx + d
dx ;
• komplexn´ı koˇreny, pak tento pˇr´ıpad snadno pˇrevedeme jednoduch´
ymi ´
upravami
a line´
arn´ı substituc´ı na n´
asleduj´ıc´ı tvar:
Z
R(x,
√
1 + x2) dx,
kter´
y d´
ale m˚
uˇ
zeme poˇ
c´ıtat s pouˇ
zit´ım:
(a)
Eulerovy substituce
x =
t2 − 1
2t
,
dx =
t2 + 1
2t2
dt,
kter´
a pˇrevede dan´
y integr´
al na integr´
al z racion´
aln´ı funkce (substituce se
nˇ
ekdy p´ıˇse ve tvaru
√
1 + x2 = t − x);
(b)
goniometrick´
e substituce
x = tg t,
dx =
1
cos2 t
dt,
kter´
a pˇrevede dan´
y integr´
al na integr´
al z funkce R(cos t, sin t);
25
(c)
hyperbolick´
e substituce
x = sinh t, dx = cosh t dt,
nebo
x = cosh t, dx = sinh t dt,
kter´
a pˇrevede dan´
y integr´
al na integr´
al z funkce R(cosh t, sinh t). Ve
vˇsech v´
yˇse uveden´
ych pˇr´ıpadech pouˇ
z´ıv´
ame Vˇ
etu 3.2 (Druh´
a substituˇ
cn´ı
metoda).
Pˇ
r´ıklad 6.3. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
(x + 4)
√
x2 + 3x − 4
.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Funkce je definovan´
a na mnoˇ
zinˇ
e (−∞, −4) ∪ (1, ∞). Uvaˇ
zujme interval
(1, ∞) a pouˇ
zijeme Vˇ
etu 3.2. Pak
Z
1
(x + 4)
√
x2 + 3x − 4
dx =
Z
1
(x + 4)2
q x−1
x+4
dx
=
t =
q x−1
x+4
x =
4t2+1
1−t2
dx =
10t
(1−t2)2 dt
=
Z
(1 − t2)2
25t
·
10t
(1 − t2)2
dt
=
2
5
Z
dt =
2
5
t =
2
5
s
x − 1
x + 4
+ c.
Integr´
aly typu
Z
Ax + B
√
ax2 + bx + c
dx,
kde A, B, a, b, c ∈ R, A 6= 0, a 6= 0, lze ˇreˇsit v´yhodnˇe tak, ˇze je pˇrevedeme
na souˇ
cet integr´
al˚
u
K
Z
f 0(x)
f (x)
dx + L
Z
1
q
f (x)
dx,
kter´
e jiˇ
z snadno vypoˇ
cteme.
Pˇ
r´ıklad 6.4. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
x − 1
√
1 − 2x − x2
.
26
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
x − 1
√
1 − 2x − x2
dx = −
1
2
Z
−2x − 2
√
1 − 2x − x2
dx − 2
Z
1
q
2 − (x + 1)2
dx
= −
√
1 − 2x − x2 − 2 arcsin
x + 1
√
2
+ c,
kde x ∈ (−1 −
√
2, −1 +
√
2).
Pˇ
r´ıklad 6.5. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
x + 2
√
x2 + 2x + 2
dx
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
x + 2
√
x2 + 2x + 2
dx =
Z
x + 2
q
(x + 1)2 + 1
dx =
x + 1 = u
dx = du
=
Z
u + 1
√
1 + u2
du =
Z
u
√
1 + u2
du +
Z
1
√
1 + u2
du
= I1 + I2,
kde
I1 =
1 + u2 = s2
u du = s ds
=
Z
ds = s =
√
1 + u2 =
√
x2 + 2x + 2;
I2 = ln(u +
√
1 + u2) = ln(x + 1 +
√