Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
cn´ı metoda? Zformulujte znˇ
en´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch vˇ
et.
• Vysvˇetlete myˇslenkov´
y postup v´
ypoˇ
ctu primitivn´ı funkce k parci´
aln´ım zlomk˚
um
tvaru
Bx + C
(px2 + qx + r)k
,
kde polynom ve jmenovateli m´
a komplexn´ı koˇreny.
• Vysvˇetlete postup pˇri integraci racion´
aln´ı funkce.
• Odvod’te rekurentn´ı vztah pro v´
ypoˇ
cet integr´
alu
Z
1
(t2 + a2)k
dt.
• Co je c´ılem substituc´ı pˇri ˇreˇsen´ı R R(sin x, cos x) dx?
• Jak se ˇreˇs´ı integr´
aly typu
R sin αx · sin βx dx apod. ?
• Odvod’te, ˇcemu se rovn´
a sin x, cos x pˇri substituci tg
x
2 .
• Popiˇste postup pˇri ˇreˇsen´ı integr´
al˚
u tvaru
Z
Ax + B
√
ax2 + bx + c
dx.
• Jak lze vypoˇc´ıtat integr´
aly tvaru
R
√
ax2 + bx + c dx?
31
8
Autotest.
Spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
1)
Z
3 + ln x
x
3
√
ln x − 4
dx
na
0, e
4
;
2)
Z
e
−2x sin(3x+2) dx na R;
3)
Z
cos 2x
cos x + sin x
dx
na
−
π
4
,
3π
4
;
4)
Z
1
√
2x − x2
dx
na (0, 2) ;
5)
Z
1 − 2 sin
2 x
sin
3 x cos x
dx
na
0,
π
2
;
6)
Z
(2x − 3x)
2
6x
dx
na R;
7)
Z
2 ln x + 7
x
ln
2 x + ln x − 2
dx
na ;
8)
Z
1
x3
5
s
x
x + 1
dx
na (−∞, −1) ;
9)
Z
cos(3x − 1) cos
x + 2
3
dx
na R;
10)
Z
x
2 cos2 x dx na R.
9
V´
ysledky cviˇ
cen´ı a autotestu.
Cviˇ
cen´ı 2.1.
a)
x4
4
− ln |x| +
2
5
x
4
√
x + 18
3
√
x + c;
b)
2
√
x
45
(5x
4 − 27x2 − 45) + c;
c)
x
3
2
√
x − 3
+ c;
d) x + cos x + c;
e)
x − sin x
2
+ c;
f) tg x − x + c.
32
Cviˇ
cen´ı 3.1.
a) −
1
4
ln |3 − 4x| + c = −
1
4
ln(4x − 3) + c
pro x ∈
3
4
, ∞
;
b)
1
3 cos3 x
+ c;
c)
1
3
q
(5 + x2)3 − 5
√
5 + x2 + c;
d)
1
4
arcsin
4 x + c;
e)
1
5
arctg
x + 2
5
+ c;
f) arcsin
x + 2
3
+ c.
Cviˇ
cen´ı 3.2.
a)
x sin(4x + 3)
4
+
cos(4x + 3)
16
+ c;
b)
1
8
(2x
2 − 2x sin 2x − cos 2x) + c;
c) x log x −
x
ln 10
+ c;
d) x arctg 3x −
1
6
ln
1 + 9x
2
+ c;
e)
e2x
29
(5 sin 5x + 2 cos 5x) + c;
f) −
ln
2 x
2x2
−
ln x
2x2
−
1
4x2
+ c.
Cviˇ
cen´ı 4.1.
a) 2 ln
x
2 + 5x + 7
−
22
√
3
arctg
2x + 5
√
3
+ c;
b)
5
3
ln |x − 1| +
1
3
ln |x + 2| + c;
c) x −
1
2x2
+ ln
|x3|
|x − 2|
+ c;
d) ln
|x2 + x + 1|
|x|
+ c;
e) ln x
2
√
x2 − 2x + 2 + c;
33
f)
5
2
ln
ln
2 x − ln x + 1
+
11
√
3
arctg
2 ln x − 1
√
3
+ c.
Cviˇ
cen´ı 5.1.
a) arctg (cos x) − cos x + c;
b) −
cos2 x
2
+
2 cos3 x
3
−
cos4 x
4
+ c;
c)
1
2
cos
2 x − 2 cos x + 3 ln |cos x + 2| + c;
d)
1
√
2
arctg
tg x
√
2
!
+ c;
e)
1
3
ln
tg x
tg x + 3
+ c;
f)
1
√
3
arctg
2 tg
x
2 − 1
√
5
+ c.
Cviˇ
cen´ı 6.1.
a) x − 2
√
x + 2 ln(
√
x + 1) + c;
b) 4
4
√
x + 6
6
√
x + 24
12
√
x + 24 ln |
12
√
x − 1| + c;
c) 2 arctg
s
1 + x
1 − x
−
√
1 − x2 + c;
d) −
√
3 − 2x − x2 − 4 arcsin
x + 1
2
+ c;
e)
1
4
(2x + 4)
√
x2 + 4x + 3 −
1
2
ln
x + 2 +
√
x2 + 4x + 3
+ c;
f) −
1
2
ln
2x + 1 +
√
x2 + x + 1
√
3
+
√
x2 + x + 1 + c.
Autotest. 8
1)
3
5
3
q
(ln x − 4)
5 +
21
2
3
q
(ln x − 4)
2 + c;
2)
−e−2x