Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
4 (4x2 − 4x + 3)
+
1
2
√
2
arctg
2x − 1
√
2
+ c.
Cviˇ
cen´ı 4.1. Spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
a)
Z
4x − 1
x2 + 5x + 7
dx
na R;
b)
Z
2x + 3
x2 + x − 2
dx
na (−2, 1) ;
c)
Z
x4 − 6x2 + x − 2
x4 − 2x3
dx
na (0, 2) ;
d)
Z
x2 − 1
x3 + x2 + x
dx
na (0, ∞) ;
e)
Z
3x2 − 4x + 4
x3 − 2x2 + 2x
dx
na (−∞, 0) ;
f)
Z
5 ln x + 3
x
ln
2 x − ln x + 1
dx
na (0, ∞) .
19
5
Integrace goniometrick´
ych funkc´ı.
Zavedeme nejprve pojem polynomu n promˇ
enn´
ych:
P (u1, u2, . . . , un) =
m1
X
k1=0
m2
X
k2=0
· · ·
mn
X
kn=0
ak
1k2...kn u
k1
1 u
k2
2 . . . u
kn
n ,
kde n ∈ N, ak
1k2...kn ∈
R, ki, mi jsou cel´
a nez´
aporn´
a ˇ
c´ısla.
R(u1, u2, . . . , un) =
P (u1, u2, . . . , un)
Q(u1, u2, . . . , un)
je racion´
aln´ı funkce n promˇ
enn´
ych.
Rozliˇs´ıme tˇri z´
akladn´ı typy integr´
al˚
u.
5.1
Typ R R(sin x, cos x) dx .
Necht’
R(u, v) =
P (u, v)
Q(u, v)
je racion´
aln´ı funkce dvou promˇ
enn´
ych u = sin x a v = cos x.
Integraci funkc´ı tohoto typu lze pˇ
rev´
est na integraci funkc´ı racion´
aln´ıch v promˇ
enn´
e
t zaveden´ım n´
asleduj´ıc´ıch substituc´ı:
1) Plat´ı-li R(−u, v) = −R(u, v), poloˇ
z´ıme cos x = t.
2) Plat´ı-li R(u, −v) = −R(u, v), poloˇ
z´ıme sin x = t.
3) Plat´ı-li R(−u, −v) = R(u, v), poloˇ
z´ıme tg x = t.
4) V ostatn´ıch pˇ
r´ıpadech poloˇ
z´ıme tg
x
2 = t.
Pˇri zaveden´ı substituce tg x = t vyuˇ
zijeme
tyto vztahy (pro lehk´
e zapamatov´
an´ı je
m˚
uˇ
zeme z´ıskat z n´
asleduj´ıc´ıho obr´
azku:)
cos x =
1
√
1 + t2
,
sin x =
t
√
1 + t2
.
Pˇri substituci tg
x
2 = t dostaneme:
20
cos x = cos
2 x
2
− sin
2 x
2
=
1 − t2
1 + t2
,
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
=
2t
1 + t2
.
Pˇ
r´ıklad 5.1. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
cos3 x
1 + 4 sin
2 x
na intervalu R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
R(u, −v) =
(−v)3
1 + 4u2
= −
v3
1 + 4u2
= −R(u, v).
Zvol´ıme substituci sin x = t.
Z
cos3 x
1 + 4 sin
2 x
dx =
sin x = t
cos x dx = dt
=
Z
1 − t2
1 + 4t2
dt
=
1
4
Z
−1 +
5
1 + 4t2
dt =
1
4
−t +
5
2
arctg 2t
+ c
=
1
4
− sin x +
5
2
arctg(2 sin x)
+ c.
Pˇ
r´ıklad 5.2. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
4 sin
2 x − 4 sin x cos x + 7 cos2 x
na intervalu (0, π/2).
ˇ
Reˇ
sen´ı.
R(−u, −v) =
1
4(−u)2 − 4(−u)(−v) + 7(−v)2
=
1
4u2 − 4uv + 7v2
= R(u, v).
Zvol´ıme substituci tg x = t.
Z
1
4 sin
2 x − 4 sin x cos x + 7 cos2 x
dx
=
tg x = t
sin x =
t
√
1+t2
x = arctg t dt cos x =
1
√
1+t2
dx =
1
1+t2 dt
=
Z
1
4
t2
1+t2 −
4t
1+t2 + 7
1
1+t2
1
1 + t2
dt =
Z
1
4t2 − 4t + 7
dt =
Z
1
(2t − 1)
2 + 6
dt
=
1
2
√
6
arctg
2t − 1
√
6
+ c =
1
2
√
6
arctg
2 tg x − 1
√
6
+ c
21
Pˇ
r´ıklad 5.3. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
4 − 5 sin x
na intervalu (0, π/4).
ˇ
Reˇ
sen´ı. Zvol´ıme substituci tg
x
2 = t.
Z
1
4 − 5 sin x
dx =
tg
x
2
= t
sin x =
2t
1+t2
x = 2 arctg t cos x =
1−t2
1+t2
dx =
2
1+t2 dt
=
Z
2
4 −
10t