Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x2 + 2x + 2).
Celkem dost´
av´
ame
Z
x + 2
√
x2 + 2x + 2
dx =
√
x2 + 2x + 2 + ln(x + 1 +
√
x2 + 2x + 2) + c
pro x ∈ R.
Pˇ
r´ıklad 6.6. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
1
√
1 + x2
na R.
27
ˇ
Reˇ
sen´ı. Zvol´ıme Eulerovu substituci podle bodu (a), kde t ∈ (0, ∞) a pouˇ
zijeme
Vˇ
etu 3.2.
Z
1
√
1 + x2
dx =
x =
t2 − 1
2t
dx =
t2 + 1
2t2
dt
=
Z
1
q
1 +
(t2−1)2
4t2
·
t2 + 1
2t2
dt
=
Z
1
q (t2+1)2
4t2
·
t2 + 1
2t2
dt =
Z
1
t
dt = ln t
= ln
x +
√
1 + x2
+ c.
Pˇ
r´ıklad 6.7. Vypoˇ
ctˇ
ete primitivn´ı funkci k funkci
√
1 + x2
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Zvol´ıme hyperbolickou substituci podle bodu (c), kde t ∈ (−∞, ∞).
Z
√
1 + x2 dx =
x = sinh t
t = argsinh x
dx = cosh tdt
=
Z
q
1 + sinh
2 t cosh t dt =
Z
cosh
2 t dt
=
1
2
Z
(1 + cosh 2t) dt =
1
2
t +
1
2
sinh 2t
=
1
2
(t + sinh t cosh t) =
1
2
t + sinh t
q
1 + sinh
2 t
=
1
2
argsinh x + x
√
1 + x2
=
1
2
h
ln(x +
√
1 + x2) + x
√
1 + x2
i
+ c.
Pozn´
amka 6.1. Pˇredeˇsl´
y pˇr´ıklad lze t´
eˇ
z ˇreˇsit metodou per partes pˇri souˇ
casn´
em
vyuˇ
zit´ı v´
ysledku z Pˇr´ıkladu 6.6 tohoto odstavce.
Pˇ
r´ıklad 6.8. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
x
√
1 − 4x − x2 dx.
28
ˇ
Reˇ
sen´ı. Dan´
a funkce je definovan´
a pro x ∈ (−2 − 2
√
5, −2 + 2
√
5).
Z
x
√
1 − 4x − x2 dx =
√
5
Z
x
v
u
u
t
1 −
x + 2
√
5
!
2
dx =
x+2
√
5
= u
dx =
√
5du
= 5
Z
(
√
5u − 2)
√
1 − u2 du
= 5
√
5
Z
u
√
1 − u2 du − 10
Z
√
1 − u2 du
= 5
√
5I1 − 10I2,
kde
I1 =
1 − u2 = s2
u du = s ds
= −
Z
s
2 ds = −
1
3
s
3 = −
1
3
(1 − u
2)
√
1 − u2
= −
1
15
√
5
(1 − 4x − x
2)
√
1 − 4x − x2,
I2 =
Z
√
1 − u2 du.
Dle Pˇr´ıkladu 3.2 pak m´
ame
I2 =
1
2
arcsin u + u
√
1 − u2
=
1
2
"
arcsin
x + 2
√
5
!
+
x + 2
5
√
1 − 4x − x2
#
.
Celkem dost´
av´
ame
Z
x
√
1 − 4x − x2 dx
= −
1
3
q
(1 − 4x − x2)3 − (x + 2)
√
1 − 4x − x2 − 5 arcsin
x + 2
√
5
+ c
pro x ∈ (−2 − 2
√
5, −2 + 2
√
5).
Pˇ
r´ıklad 6.9. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
x5
(x2 − 1)
√
1 − x2
dx.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Integrovan´
a funkce je definovan´
a pro x ∈ (−1, 1).
I
=
1 − x2 = u2,
x dx = −u du
=
Z
(1 − u2)2
u2
dt =
1
3
u
3 − 2u −
1
u
+ c
=
1
3
(1 − x
2)
√
1 − x2 − 2
√
1 − x2 −
1
√
1 − x2
+ c
29
Cviˇ
cen´ı 6.1. Spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
a)
Z
√
x
1 +
√
x
dx
na (0, ∞) ;
b)
Z
√
x + 3
√
x
4
√
x5 −
6
√
x7
dx
na (0, 1) ;
c)
Z
s
1 + x
1 − x
dx
na (−1, 1) ;
d)
Z
x − 3
√
3 − 2x − x2
dx
na (−3, 1) ;
e)
Z
√
x2 + 4x + 3 dx
na (−1, ∞) ;
f)
Z
x
√
x2 + x + 1
dx
na R.
30
7
Kontroln´ı ot´
azky.
• Definujte primitivn´ı funkci a neurˇcit´
y integr´
al a uved’te jejich z´
akladn´ı vlast-
nosti.
• Zn´
ate nˇ
ejak´
e neelement´
arn´ı integr´
aly? V ˇ
cem spoˇ
c´ıv´
a jejich neelement´
arnost?
• Uved’te vˇetu o integraci metodou per partes.
• ˇ
C´ım se liˇs´ı 1. a 2. substituˇ