Neurcity_integral
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x sin x dx
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
Z
e
x sin x dx =
u(x) = ex
v0 (x) = sin x
u0 (x) = ex v(x) = − cos x
= −e
x cos x +
Z
e
x cos x dx
=
u(x) = ex
v0 (x) = cos x
u0 (x) = ex v(x) = sin x
= e
x(− cos x + sin x) −
Z
e
x sin x dx.
Tedy
I = e
x(sin x − cos x) − I,
a odtud pro x ∈ R
Z
e
x sin x dx =
1
2
e
x(sin x − cos x) + c,
c ∈ R.
Pozn´
amka 3.1. Analogick´
ym zp˚
usobem lze poˇ
c´ıtat integr´
aly
Z
e
ax sin bx dx,
Z
e
ax cos bx dx na R,
kde a, b jsou libovoln´
e re´
aln´
e konstanty.
Pˇ
r´ıklad 3.5. Kombinac´ı prvn´ı substituˇ
cn´ı metody a metody per partes vypoˇ
c´ıtejte
integr´
aly
I =
Z
x
5 ex
2
dx,
J =
Z
arctg x dx
na R.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
I
=
x2 = t
2xdx = dt
=
1
2
Z
t
2 et dt
=
u(t) = t2,
v0(t) = et
u0(t) = 2t,
v(t) = et
=
t2 et
2
−
Z
t e
t dt
=
u(t) = t,
v0(t) = et
u0(t) = 1,
v(t) = et
=
t2 et
2
− t e
t +
Z
e
t dt
=
ex
2
(x4 − 2x2 + 2)
2
+ c;
J
=
u(x) = arctg x, v0(x) = 1
u0(x) =
1
1 + x2
,
v(x) = x
= x arctg x − J1,
14
kde
J1 =
Z
x
1 + x2
dx =
1 + x2 = t
x dx =
1
2 dt
=
1
2
ln |t| =
1
2
ln(1 + x
2) + c.
Celkem tedy
Z
arctg x dx = x arctg x −
1
2
ln(1 + x
2) + c.
Cviˇ
cen´ı 3.1. Uˇ
zit´ım substituˇ
cn´ıch metod spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
a)
Z
1
3 − 4x
dx
na
3
4
, ∞
;
b)
Z
sin x
cos4 x
dx
na
−
π
2
,
π
2
;
c)
Z
x3
√
5 + x2
dx
na R;
d)
Z
arcsin
3 x
√
1 − x2
dx
na (−1, 1) ;
e)
Z
1
x2 + 4x + 29
dx
na R;
f)
Z
1
√
5 − 4x − x2
dx
na (−5, 1) .
Cviˇ
cen´ı 3.2. Uˇ
zit´ım metody per partes spoˇ
ctˇ
ete dan´
e integr´
aly na dan´
ych oborech:
a)
Z
x cos(4x + 3) dx
na R;
b)
Z
x sin
2 x dx na R;
c)
Z
log x dx
na (0, ∞) ;
d)
Z
arctg 3x dx
na R;
e)
Z
e
2x cos 5x dx na R;
f)
Z
ln
2 x
x3
dx
na (0, ∞) .
4
Integrace racion´
aln´ıch funkc´ı.
Jak jiˇ
z v´ıme z teorie racion´
aln´ıch funkc´ı, m˚
uˇ
zeme zadanou ryz´ı racion´
aln´ı funkci
15
rozloˇ
zit na parci´
aln´ı zlomky tvaru
(I)
A
(ax + b)
l
(II)
Bx + C
(px2 + qx + r)
k
kde k, l ∈ N, a 6= 0, p 6= 0, q
2 − 4pr < 0, A 6= 0 a B2 + C2 6= 0. Je zˇrejm´e, ˇze
pro integraci parci´
aln´ıch zlomk˚
u typu (I) m˚
uˇ
zeme pouˇ
z´ıt substituci ax + b = t, kter´
a
pˇ
revede tento typ na tabulkov´
y integr´
al
R
t−l dt.
Pˇ
r´ıklad 4.1.
Z
1
(3x + 4)
5 dx =
3x + 4 = t
3 dx = dt
=
1
3
Z
1
t5
dt = −
1
12 (3x + 4)
4 + c,
kde x ∈ (−∞, −4/3) nebo x ∈ (−4/3, ∞).
Integrace parci´
aln´ıch zlomk˚
u tvaru (II) je jiˇ
z troˇ
sku n´
aroˇ
cnˇ
ejˇ
s´ı. Nejprve se budeme
zab´
yvat pˇ
r´ıpadem, kdy k = 1. Pak je vhodn´
e upravit integrand na tvar
K
f 0(x)
f (x)
+ L
1
f (x)
,
kter´
y jiˇ
z snadno integrujeme pomoc´ı prvn´ı substituˇ
cn´ı metody.
Pˇ
r´ıklad 4.2. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
x
x2 + 3x + 3
dx.
ˇ
Reˇ
sen´ı. Integrovan´
a funkce je definovan´
a pro vˇsechna x ∈ R a x
2 + 3x + 3 > 0 na
R.
Z
x
x2 + 3x + 3
dx =
Z
1
2 (2x + 3) −
3
2
x2 + 3x + 3
dx
=
1
2
Z
2x + 3
x2 + 3x + 3
dx −
3
2
Z
1
x2 + 3x + 3
dx =
1