07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Diferenciální počet - I. část
(limity a derivace)
Jiří Vítovec
7. a 8. přednáška z BMA1 (4. týden semestru)
Přednášky z Matematiky
Určeno studentům FEKT VUT
19. října 2012
Obsah
Limita funkce
Spojitost funkce
Derivace funkce
Limita funkce
Definice (Okolí bodu)
Libovolný otevřený interval (a, b) obsahující bod x0 ∈ R nazýváme
okolí bodu x0 a značíme jej O(x0), tj.
O(x0) = (a, b),
pokud
a < x0 < b.
Okolí bodů ∞ a −∞ je definováno jako
O(∞) = (K , ∞)
a
O(−∞) = (−∞, −K ),
kde K > 0 je libovolně velké reálné číslo.
Speciální typy okolí bodu
I
δ-okolí bodu x0
Oδ(x0) = (x0 − δ, x0 + δ).
I
Ryzí (prstencové) δ-okolí bodu x0
b
Oδ(x0) = Oδ(x0) \ {x0} = (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ).
I
Levé a pravé δ-okolí bodu x0
O
−
δ (x0) = (x0 − δ, x0]
a
O
+
δ (x0) = [x0, x0 + δ).
I
Levé a pravé ryzí (prstencové) δ-okolí bodu x0
b
O
−
δ (x0) = (x0 − δ, x0)
a
b
O
+
δ (x0) = (x0, x0 + δ).
Poznámka
Bod x0 se nazývá střed, číslo δ (používá se i ε) poloměr.
Není-li číslo δ (resp. ε) podstatné, budeme ho v zápisu vynechávat.
Definice (Limita funkce (vlastní limita ve vlastním bodě))
Nechť f je definovaná v nějakém ryzím okolí bodu x0. Řekneme, že
funkce f má v bodě x0 limitu rovnu číslu L, jestliže pro ∀ε > 0
existuje δ > 0 takové, že pro ∀x ∈ b
Oδ(x0) platí f (x) ∈ Oε(L).
Píšeme
lim
x →x0
f (x ) = L.
Definice (Jednostranné limity)
Použijeme-li v předchozí definici limity b
O
+
δ (x0) místo b
Oδ(x0),
získáme definici limity zprava
lim
x →x
+
0
f (x ) = L.
Podobně, použijeme-li v předchozí definici limity b
O
−
δ (x0) místo
b
Oδ(x0), získáme definici limity zleva
lim
x →x
−
0
f (x ) = L.