07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce

f

0, f 00, f 000, f (4), f (5), . . . , f (n).

I

V ostatních typech značení se n-tá derivace píše jako

y

(n),

dnf

dx n

,

dny

dx n

.

Příklad
Určete hodnotu 3. derivace funkce

f (x ) = 5x

5 + 4x3 − x2 + 1

v bodě x0 = −2.

Řešení:

f

000(−2) = 1 224.

Příklad
Určete hodnotu 400. derivace funkce

f (x ) = x

121 + x38 + x2 − 1 + 3ex − 7 sin x.

Řešení:

f

(400)(x) = 3ex − 7 sin x.

Fyzikální význam derivace

I

Derivace f 0(x0) vyjadřuje okamžitou rychlost změny
funkční hodnoty funkce f v bodě x0. Tj. je-li f

0(x

0) = c ∈

R,

potom na jednu jednotku změny hodnoty nezávisle proměnné
x připadá c jednotek změny závisle proměnné y .

I

Zejména z toho plyne, že

(i) je-li c > 0, pak s rostoucím x roste i y ,

(ii) je-li c < 0, pak s rostoucím x hodnota y klesá,

(iii) je-li c = 0 pak funkce v bodě x0 ani neroste ani neklesá

(to znamená, že je buď konstantní nebo nabývá v bodě x0
svého maxima či minima).

Pomocí derivací můžeme odvodit zákony klasické mechaniky:

I

Rychlost je změna polohy v čase v =

s
t . Potom okamžitá

rychlost v čase t je

v (t) = lim

h→0

s(t + h) − s(t)

h

=

ds

dt

= s

0(t).

I

Zrychlení je změna rychlosti v čase, tedy podobně obdržíme

a(t) =

dv

dt

=

d2s

dt2

= s

00(t).

Příklad
Hmotný bod urazí v čase t vzdálenost danou rovnicí
s(t) = t3 + t2 + t + 1. Určete dráhu s, okamžitou rychlost v a
zrychlení a v čase t = 10 s.

[Řešení:

s(10) = 1111 m, v (10) = 321 m/s, a(10) = 62 m/s2.]

Document Outline

• Limita funkce
• Spojitost funkce
• Derivace funkce