07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce

I

(ln x )0 =

1
x ,

I

(logb x)

0 = 1

x ·ln b ,

I

(sin x )0 = cos x ,

I

(cos x )0 = − sin x .

I

(tg x )0 =

1

cos2 x

,

I

(cotg x )0 = −

1

sin2 x

,

I

(arcsin x )0 =

1

√

1−x 2

,

I

(arccos)0 = −

1

√

1−x 2

,

I

(arctg)0 =

1

1+x 2

,

I

(arccotg)0 = −

1

1+x 2

.

Věta (Derivace složené funkce)

Pro složenou funkci platí

(f ◦ g )

0(x) = [f (g(x))]0 = f 0(g(x)) · g0(x).

Poznámka

I

Výraz f 0(g (x )) znamená derivaci funkce f v bodě g (x ).

I

Při derivování složené funkce je vhodné začít od vnější složky
a pokračovat dovnitř (

”

jako u loupání cibule“), tj.

(f ◦ g ◦ h)

0(x) = [f (g(h(x)))]0 = f 0(g(h(x))) · g0(h(x)) · h0(x).

Důležité vzorce upravující funkci před derivací

f (x )

g (x ) = eg(x) ln f (x),

logg(x) f (x) =

ln f (x )

ln g (x )

.

Příklad
Derivujte následující funkce:

f (x ) = 5x

3 − 2 cos x +

3

4x 2

,

g (x ) =

x 4

ln x

,

h(x ) =

3

p

sin(2x ).

Řešení:

f

0(x) = 15x2 + 2 sin x −

3

2x 3

,

g

0(x) =

x 3(4 ln x − 1)

ln

2 x

,

h

0(x) =

2 cos(2x )

3

3

q

sin2(2x )

.

Příklad
Derivujte následující funkce:

f (x ) =

3

√

e+π

4−

3

√

x 2,

g (x ) = e

x tg x−

x 2

ln x

,

h(x ) = ln(x +

p

x 2 − 1)

F (x ) = ln x

3+ln3 x+ln3 x3,

G (x ) = arctg

s

1 −

3
x

cos x

,

H(x ) = e

arcsin

x −1

x +1

u(x ) = arccos

√

x − xe2x

sin[ln(x 2 + 1)]

,

v (x ) = x

sin x ,

w (x ) = logx tg x

Definice (Derivace vyšších řádů)

Nechť f je funkce a f 0 její derivace. Existuje-li derivace (f 0)0 funkce
f 0, nazýváme ji druhá derivace funkce f a značíme ji f 00.

Obecně n-tou derivací, n ∈ N, funkce f rozumíme funkci

f

(n) =

f

(n−1)

0

.

Poznámka

I

Pro derivace vyšších řádů budeme používat značení