07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce

Věta (O existenci derivace)

Funkce f má v bodě x0 derivaci právě tehdy, když má v tomto
bodě tzv. derivaci zprava a derivaci zleva

f

0

+(x0) =

lim

x →x

+

0

f (x ) − f (x0)

x − x0

a

f

0

−(x0) =

lim

x →x

−

0

f (x ) − f (x0)

x − x0

a tyto derivace se rovnají.

Věta (O spojitosti derivace)

Nechť funkce f má v bodě x0 vlastní derivaci. Pak je v tomto
bodě spojitá.

Poznámka
Pozor! Obrácená věta neplatí. Např. funkce f (x ) = |x | je spojitá
na celém R, ale v x0 = 0 nemá derivaci.

Definice (Derivace funkce na intervalu)

Nechť má funkce f derivaci v každém bodě otevřeného intervalu I .
Předpisem, který každému bodu x z intervalu I přiřadíme derivaci
funkce f v bodě x , je definována funkce, kterou nazýváme derivací
funkce f na intervalu I a označujeme ji f 0.

Poznámka

I

Derivaci funkce y = f (x ) se mimo f 0 také značívá y 0,

df
dx ,

dy
dx .

I

Symboly df a dx nazýváme přírustky na f a na x . Výraz
df (x0) = f

0(x

0) dx nazýváme diferenciál funkce f v bodě x0.

Označíme-li df (x0) = y − f (x0) a dx = x − x0, vidíme, že
geometrický význam diferenciálu je

”

přírustek na tečně“.

I

Funkce f má v bodě x0 diferenciál = je diferencovatelná v x0.

⇔

Existuje vlastní derivace f 0(x0).

Pravidla pro počítání s derivacemi

Nechť f a g jsou funkce, c ∈ R.

I

(f ± g )0 = f 0 ± g 0,

I

(c · f )0 = c · f 0,

I

(f · g )0 = f 0g + fg 0,

I

f

g

0

=

f 0g −fg 0

g 2

.

Vzorce derivací elementárních funkcí

Nechť a, b, c, α ∈ R, a, b > 0, α 6= 0, b 6= 1.

I

(c)0 = 0,

I

(x α)0 = αx α−1,

I

(ex )0 = ex ,

I

(ax )0 = ax · ln a,