07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce

x →±∞

anx

n + · · · + a0

bmxm + · · · + b0

=

lim

x →±∞

anx

n

bmxm

.

Poznámka
Při určování limit funkce f (x ) pro x → ∞ není nutné se do ∞ blížit
přez ∀x ∈ D(f ). Stačí (a limita, pokud existuje, vyjde stejně), když
se do ∞ blížíme po přirozených číslech n = {k, k + 1, k + 2, ...}.
Mluvíme o tzv. limitě posloupnosti f (n) a píšeme

lim

n→∞

f (n).

Platí

lim

x →∞

f (x ) = L

⇒

lim

n→∞

f (n) = L,

kde L ∈ R

∗. Postup při výpočtu limity posloupnosti je tedy

naprosto stejný jako u limity funkce.

Příklad

I

lim

x →−∞

(−2x 5 +3x 4 +8) =

lim

x →−∞

(−2x 5) =

−2 · (−∞)

= ∞.

I

lim

x →∞

2x 3+3x 2−1

x 4−2x +2

= lim

x →∞

2x 3

x 4

= lim

x →∞

2
x =

2

∞

= 0.

I

lim

x →−∞

3x 2+2x −1

−x2−8x+5 =

lim

x →−∞

3x 2

−x2 =

lim

x →−∞

(−3) = −3.

I

lim

n→∞

n4+3n2+2n−1

−4n2+3n+5

= lim

n→∞

n4

−4n2 =

1

−4 · lim

n→∞

n2 = −∞.

Poznámka
Neurčité výrazy typu

0
0

a

±∞
±∞

lze řešit také pomocí derivací a

použít tzv. L’Hospitalovo pravidlo. Ostatní neurčité výrazy

±∞ · 0

,

∞ − ∞

,

1∞

,

∞0

,

00

.

lze na předchozí dva typy převést a též použít L’Hospitalovo
pravidlo (ukážeme si jej po probrání derivací).

Věta (Důležité limity)

Platí (lze odvodit z vlastností funkcí či L’Hospitalovým pravidlem)

lim

x →0

sin x

x

= 1,

lim

x →±∞

1 +

1

x

x

= e = 2, 718281828...

Příklad
Určete (s využitím právě získaných vědomostí) následující limity:

a) lim

n→∞

sin n4

√

n + 1

b) lim

x →1

1

x 2 − 1

−

2

x 4 − 1

c) lim

x →∞

(

√

x − 2−

√

x )

d) lim

x →∞

(4x − 1)100(3x + 1)200

(6x + 5)300

e) lim

x →∞

ex

x 100

f) lim

x →6

x − 6

√

x + 3 − 3

g) lim

x →0

x 3

1 − cos2 x

h) lim

x →0

tg 3x