07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
tg 2x
i) lim
x →0
xe
−1/x
j) lim
n→∞
n
n + 1
3n
Řešení:
a) 0
b)
1
2
c) 0
d)
1
6100
e) ∞
f) 6
g) 0
h)
3
2
i) neex.
j)
1
e3
Spojitost funkce
Definice (Spojitost)
I
Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R, jestliže
x0 ∈ D(f )
a
lim
x →x0
f (x ) = f (x0).
I
Řekneme, že funkce f je spojitá zleva v bodě x0 ∈ R, jestliže
x0 ∈ D(f )
a
lim
x →x
−
0
f (x ) = f (x0).
I
Řekneme, že funkce f je spojitá zprava v bodě x0 ∈ R,
jestliže
x0 ∈ D(f )
a
lim
x →x
+
0
f (x ) = f (x0).
Definice (Spojitost na intervalu)
Řekneme, že funkce je spojitá intervalu I , je-li spojitá v každém
jeho vnitřním bodě a v krajních bodech (pokud patří do I ) je
spojitá zleva, resp. zprava.
Definice (Body nespojitosti)
Bod x0, ve kterém není funkce f spojitá, nazýváme bodem
nespojistosti. Máme tyto druhy nespojitosti v bodě x0:
I
Nespojitost prvního druhu
(i) odstranitelná nespojitost, pokud limx→x
0 f (x ) = L a
f (x0) 6= L.
(ii) skok, pokud lim
x →x
+
0
f (x ) = a, lim
x →x
−
0
f (x ) = b, kde
a, b ∈ R, a 6= b.
I
Nespojitost druhého druhu, pokud není bod x0 nespojitostí
prvního druhu (tj. alespoň jedna z jednostranných limit je
nevlastní nebo neexistuje).
Důležité věty diferenciálního počtu o spojitých funkcích:
Věta (Weierstrassova)
Spojitá funkce nabývá v uzavřeném intervalu I své největší a
nejmenší hodnoty a také všech hodnot mezi nimi.
Věta (Bolzanova)
Nechť funkce f je spojitá v uzavřeném intervalu I = ha, bi a
nechť platí f (a) · f (b) < 0. Pak existuje alespoň jedno číslo
c ∈ (a, b) takové, že f (c) = 0.
Derivace funkce
Definice (Derivace funkce v bodě)
Buď f funkce a x0 ∈ D(f ). Existuje-li
lim
x →x0
f (x ) − f (x0)