07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
lim
x →x0
f g (x )
=
f
lim
x →x0
g (x )
=
f (c)
= L ∈ R
∗.
Poznámka
Při výpočtech limit vždy nejprve dosadíme x = x0.
Příklad
I
lim
x →0+
ln
1
x
=
ln ∞
= ∞,
I
lim
x →−∞
arctg (e−x ) =
arctg ∞
=
π
2 ,
I
lim
x →0+
ln (sin x ) =
ln 0+
= −∞,
I
lim
x →0−
1
sin x =
1
sin 0−
=
1
0−
= −∞,
Věta
Jestliže pro všechna x ∈ ˆ
Oδ(x0) platí f (x) = g (x) a existuje-li
limita lim
x →x0
g (x ) = L, pak i
lim
x →x0
f (x ) = L.
Odtud plyne, že funkci lze při výpočtu limity vhodně upravovat.
Příklad
lim
x →2
x 2 − x − 2
x − 2
=
0
0
= lim
x →2
(x − 2)(x + 1)
x − 2
= lim
x →2
(x + 1) = 3.
Věta
Nechť lim
x →x0
f (x ) = k 6= 0 a lim
x →x0
g (x ) = 0. Existuje-li prstencové
okolí bodu x0, takové, že pro každé x z tohoto okolí platí
I
f (x )
g (x ) > 0,
pak
limx→x
0
f (x )
g (x ) = ∞,
I
f (x )
g (x ) < 0,
pak
limx→x
0
f (x )
g (x ) = −∞.
→ Věta platí i pro jednostranné okolí a limity.
→ Při výpočtu limity typu
k
0
, kde k 6= 0, k ∈ R je potřeba
určit obě jednostranné limity a zjisit, zda jsou si rovny.
Pokud ne, limita neexistuje.
Příklad
I
Limita
lim
x →1
x
x − 1
=
1
0
neexistuje, neboť
lim
x →1+
x
x − 1
=
1
0+
= ∞,
lim
x →1−
x
x − 1
=
1
0−
= −∞.
I
Limita
lim
x →1
x
(x − 1)2
=
1
0
= ∞,
neboť
lim
x →1+
x
(x − 1)2
=
1
0+
= ∞,
lim
x →1−
x
(x − 1)2
=
1
0+
= ∞.
Věta
Nechť f (x ) je ohraničená funkce v (ryzím) okolí bodu x0 ∈ R
∗ a
lim
x →x0
g (x ) = ±∞, potom
lim
x →x0
f (x )
g (x )
=
ha,bi
±∞
= 0.
Příklad
lim
x →∞
sin x
x
=
h−1,1i
∞
= 0.
Věta
Platí:
lim
x →±∞
(anx
n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0) = lim
x →±∞
anx
n
a odtud
lim