07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce

x − x0

= lim

h→0

f (x0 + h) − f (x0)

h

(L)

nazýváme limitu (L) derivací funkce f v bodě x0 a značíme ji

f 0(x0).

I

Je-li limita (L) vlastní, nazýváme ji vlastní derivace.

I

Je-li limita (L) nevlastní, nazýváme ji nevlastní derivace.

I

Pokud limita (L) neexistuje, funkce f v bodě x0 derivaci nemá.

Poznámka

I

Druhá limita v (L) vznikne z první limity substitucí h = x − x0.

I

Dále se budeme zabývat především vlastními derivacemi.

Geometrický význam derivace

Sečna grafu funkce f procházející body [x0, f (x0)] a
[x0 + h, f (x0 + h)] je obecná přímka y = kx + q se směrnicí

k = tg ϕ =

f (x0 + h) − f (x0)

h

.

Jestliže se s bodem x0 + h blížíme k bodu x0 (tj. provádíme limitní
přechod h → 0), přejde tato sečna v tečnu v bodě [x0, f (x0)]. Tečna
ke grafu funkce f v bodě x0 je tedy přímka y = kx + q se směrnicí

k = lim

h→0

f (x0 + h) − f (x0)

h

= f

0(x

0),

což je přesně derivace funkce f v bodě x0 nebo-li číslo f

0(x

0).

Rovnice tečny a normály

Dosazením bodu [x0, f (x0)] do přímky y = kx + q dostaneme
rovnici tečny t ke grafu funkce f v bodě x0:

t :

y − f (x0) = f

0(x

0)(x − x0).

Normála n, jakožto přímka kolmá k tečně procházející bodem
[x0, f (x0)], má rovnici

n :

y − f (x0) = −

1

f 0(x0)

(x − x0).

Příklad
Určete rovnici tečny a normály k funkci f (x ) = ex + x procházející
bodem T = [0, ?].

Řešení:

t :

y = 2x + 1,

n :

y = 1 −

1

2

x .

Poznámka
Pokud je derivace funkce f v bodě x0 nevlastní, tj. je rovna ∞
nebo −∞, tak má tečna procházející tímto bodem rovnici x = x0.
Tečna v tomto bodě protíná graf funkce a je rovnoběžná s osou y .