07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce

Definice (Rozšířená množina reálných čísel)

Rozšířenou množinou reálných čísel R

∗ rozumíme množinu

reálných čísel R rozšířenou o body ∞ a −∞, tj.

R

∗ = R ∪ {∞, −∞}.

Body ±∞ nazýváme nevlastní body, zatímco body množiny R
nazýváme vlastní body.

Pro a, b ∈ R, b > 1 definujeme:

.

I

a + ∞ = ∞,

I

a − ∞ = −∞,

I

∞ + ∞ = ∞,

I

−∞ − ∞ = −∞,

I

∞ · ∞ = ∞,

I

(−∞) · (−∞) = ∞,

I

∞ · (−∞) = −∞,

I

| ± ∞| = ∞,

I

a

±∞ = 0,

I

b∞ = ∞,

I

b−∞ = 0,

I

logb ∞ = ∞.

I

Je-li a > 0, pak a · ∞ = ∞, a · (−∞) = −∞.

I

Je-li a < 0, pak a · ∞ = −∞, a · (−∞) = ∞.

I

a
0 není definováno pro žádné a ∈ R.

Poznámka
Dále není definováno těchto 7 výrazů:

0
0

,

±∞
±∞

,

±∞ · 0

,

∞ − ∞

,

1∞

,

∞0

,

00

.

Tyto výrazy nazýváme neurčité výrazy a budeme je spolu s výrazy
obsahující prvky ∞ a −∞ zapisovat do

.

Definice (Nevlastní limita ve vlastním bodě)

Nechť f je definovaná v nějakém ryzím okolí bodu x0. Řekneme, že
funkce f má v bodě x0 nevlastní limitu ∞ (resp. −∞), jestliže
pro ∀Y > 0 existuje δ > 0 takové, že pro ∀x ∈ b

Oδ(x0) platí

f (x ) > Y (resp. f (x ) < −Y ).
Píšeme

lim

x →x0

f (x ) = ∞

(resp. lim

x →x0

f (x ) = −∞).

Definice (Vlastní limita v nevlastním bodě)

Nechť f je definovaná v okolí bodu ∞ (resp. −∞). Řekneme, že
funkce f má limitu rovnu číslu L v nevlastním bodě ∞ (resp.
−∞), jestliže pro ∀ε > 0 existuje X > 0 takové, že pro ∀x > X
(resp. ∀x < −X ) platí f (x ) ∈ Oε(L).
Píšeme

lim

x →∞

f (x ) = L