07.a 08.prednaska z BMA1 - limita, spojitost a derivafe funkce

(resp.

lim

x →−∞

f (x ) = L).

Použité pojmy

Limitu

lim

x →x0

f (x ) = L

nazýváme

I

vlastní limita ve vlastním bodě, jestliže
x0 ∈ R a L ∈ R.

I

nevlastní limita ve vlastním bodě, jestliže
x0 ∈ R a L = ±∞.

I

vlastní limita v nevlastním bodě, jestliže
x0 = ±∞ a L ∈ R.

I

nevlastní limita v nevlastním bodě, jestliže
x0 = ±∞ a L = ±∞.

Věta (Existence limity)

Funkce f má ve vlastním bodě x0 limitu L ∈ R

∗ právě tehdy, když

má v tomto bodě obě jednostranné limity a ty jsou si rovny, tj.

lim

x →x0

f (x ) = L

⇔

lim

x →x

−

0

f (x ) = lim

x →x

+

0

f (x ) = L.

Poznámka
Limita neexistuje, jestliže

I

neexistuje některá (nebo obě) jednostranné limity,

I

jednostranné limity jsou různé.

Toho lze výhodně využít při důkazu neexistence limity.

Věta (Pravidla pro počítání s limitami)

Nechť x0 ∈ R

∗, k ∈ R a nechť funkce f a g mají v bodě x0

konečnou (vlastní) limitu, pak platí

I

lim

x →x0

k = k,

I

lim

x →x0

f (x) ± g (x) = lim

x →x0

f (x ) ± lim

x →x0

g (x ),

I

lim

x →x0

f (x) · g (x) = lim

x →x0

f (x ) · lim

x →x0

g (x ),

I

lim

x →x0

k · f (x) = k · lim

x →x0

f (x ),

I

lim

x →x0

f (x )

g (x ) =

lim

x →x0

f (x )

lim

x →x0

g (x ) ,

pro lim

x →x0

g (x ) 6= 0.

Příklad

I

lim

x →2

(x 2 + 3x ) = 4 + 3 · 2 = 10,

I

lim

x →∞

(arctg x + arccotg x ) =

π

2 + 0 =

π

2 ,

I

lim

x →0−

1
x cos x =

−∞ · 1

= −∞,

I

lim

x →∞

1

x ·ex =

1

∞·∞

= 0,

I

lim

x →0+

(

1
x + ln x ) =

∞ − ∞

= neurčitý výraz.

Věta (Limita složené funkce)

Nechť c ∈ R

∗ a lim

x →x0

g (x ) = c. Existuje-li lim

x →c

f (x ), pak platí