2.Určitý Riemannův integrál a aplikace
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x)2 dx = π
Z
1
0
e
2x − e−2x dx = π
1
2
e
2x
+
1
2
e−
2x
1
0
= π
1
2
e2 +
1
2
e−2
−
1
2
e0 +
1
2
e0
= π
1
2
e2 +
1
2e2
− 1
Pouˇzijeme Newtonovu–Leibnizovu formuli. Dosad´ıme tedy meze.
//
/
.
..
Aplikace – v´ypoˇcet objem ˚u a obsah ˚u
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
y = e
x , y = e−x, x ∈ [0, 1], S =?, V =?.
1
0
1
x
y
S =
Z
b
a
f (x)
− g(x)
dx
V = π
Z
b
a
f
2(x) − g2(x)
dx
S =
Z
1
0
e
x − e−x dx = ex + e−x
1
0 = e
1
+ e
−1 − e0 + e0 = e +
1
e
− 2
V = π
Z
1
0
(ex)2 − (e−
x)2 dx = π
Z
1
0
e
2x − e−2x dx = π
1
2
e
2x
+
1
2
e−
2x
1
0
= π
1
2
e2 +
1
2
e−2
−
1
2
e0 +
1
2
e0
= π
1
2
e2 +
1
2e2
− 1
Uprav´ıme.
//
/
.
..
Aplikace – v´ypoˇcet objem ˚u a obsah ˚u
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
Urˇcete objem t ˇelesa, vznikl ´eho rotac´ı mnoˇziny pod grafem funkce y = e
√
x
pro x ∈ [0, 1] okolo osy x.
V = π
Z
1
0
e
√
x
2
dx
Z
e
√
x
2
dx =
Z
e2
√
x dx
2
√
x = t
4x = t
2
4 dx = 2t dt
dx =
1
2
t dt
=
1
2
Z
t
· e
t dt
u = t
u0 = 1
v 0 = e
t
v = e
t
=
1
2
t
· e
t −
Z
1 · e
t dt
=
1
2
tet
− e
t
=
1
2
· e
t · (t − 1) =
1
2
· e
2
√
x · 2
√
x
− 1
Z
e
√
x
2
dx =
1
2
· e
2
√
x · 2
√
x
− 1
V = π
1
2
e2
√
x 2
√
x
− 1
1
0
= π
1
2
e2 2
− 1
−
1
2
e0 0
− 1
= π
"
e
2
2
+
1
2
#
= π
e
2
+ 1
2
//
/
.
..
Aplikace – v´ypoˇcet objem ˚u a obsah ˚u
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
V =?, x
∈ [0, 1], y = e
√
x
y(0) = e
√
0
= e
0
= 1
y(1) = e
√
1
= e
1 ≈ 2.72
y0 =
1
2
·
e
√
x
√
x
≥ 0
y00 =
1
2
·
e
√
x
1
2
√
x
√
x
− e
√
x
1
2
√
x
x
=
1
2
· e
√
x ·
√
x
− 1
x
√
x
Obr ´azek
1
1
e
x
y
V = π
Z
1
0
e
√
x
2
dx
Z
e
√
x
2
dx =
Z
e
2
√
x dx
2
√
x = t
4x = t
2
4 dx = 2t dt
dx =
1
2
t dt
=
1
2
Z
t
· e
t dt
u = t
u0 = 1
v 0 = e
t