23.a 24.prednaska z BMA1 - nekonečné č. řady, mocninné řady

Nekonečné řady

(číselné a mocninné)

Jiří Vítovec

23. a 24. přednáška z BMA1 (12. týden semestru)

Přednášky z Matematiky

Určeno studentům FEKT VUT

10. prosince 2012

Obsah

Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů

Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady

Alternující číselné řady a kritérium konvergence

Mocninné řady a jejich obor konvergence

Součet mocninných řad pomocí derivování a integrování
geometrické řady

Taylorova a Maclaurinova mocninná řada a jejich součet

Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů

Definice (Nekonečná číselná řada a její částečné součty)

Nechť {an}

∞

n=1 = {a1, a2, . . . , an, . . .} je posloupnost reálných čísel.

Nekonečnou číselnou řadou nazýváme symbol

∞

X

n=1

an = a1 + a2 + · · · + an + · · · .

Posloupnost {sn}

∞

n=1 definovanou jako

s1 = a1,

s2 = a1 + a2,

..

.

sn = a1 + a2 + · · · + an

nazýváme posloupností částečných součtů této řady.

Definice (Součet nekonečné číselné řady)

Nechť {sn}

∞

n=1 je posloupnost částečných součtů řady

∞

P

n=1

an.

(i) Existuje-li vlastní limita lim

n→∞

sn = s, řekneme, že řada

∞

P

n=1

an

konverguje a má součet s. Rozlišujeme dva případy:

1) Pokud konverguje i řada

∞

P

n=1

|an|, řekneme že řada

∞

P

n=1

an

konverguje absolutně.

2) Pokud řada

∞

P

n=1

|an| nekonverguje, řekneme že řada

∞

P

n=1

an

konverguje neabsolutně.

(ii) Neexistuje-li vlastní limita lim

n→∞

sn, řekneme, že řada

∞

P

n=1

an

diverguje. Rozlišujeme tři případy:

1) Je-li lim

n→∞

sn = ∞, říkáme, že řada určitě diverguje k ∞.

2) Je-li lim

n→∞

sn = −∞, říkáme, že řada určitě diverguje k −∞.

3) Jestliže lim

n→∞

sn neexistuje, říkáme, že řada osciluje.

Významné číselné řady

I

Lomená kvadratická řada, která (absolutně) konverguje :