23.a 24.prednaska z BMA1 - nekonečné č. řady, mocninné řady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Taylorova a Maclaurinova mocninná řada a jejich
součet
Z diferenciálního počtu víme, že Taylorův a Maclaurinův polynom
slouží k libovolně přesné aproximaci funkce f v okolí bodu x0
polynomem stupně n ∈ N. Nyní rozšíříme naše znalosti pro n = ∞.
Definice (Taylorova a Maclaurinova řada)
Nechť má funkce f v bodě x0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu
∞
X
n=0
f (n)(x0)
n!
(x −x0)
n = f (x
0)+
f 0(x0)
1!
(x −x0)+···+
f (n)(x0)
n!
(x −x0)
n+···
nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x0.
Je-li x0 = 0, mluvíme též o Maclaurinově řadě, která je tedy tvaru
∞
X
n=0
f (n)(0)
n!
x
n = f (0) +
f 0(0)
1!
x + · · · +
f (n)(0)
n!
x
n + · · ·.
Věta (Součet Taylorovy řady)
Nechť r > 0 a funkce f má na intervalu (x0 − r , x0 + r ) derivace
všech řádů. Nechť existuje číslo k ∈ R, takové že
f (n)(x )
< k
pro každé n ∈ N a x ∈ (x0 − r , x0 + r ).
Potom pro libovolné x ∈ (x0 − r , x0 + r ) platí
f (x ) =
∞
X
n=0
f (n)(x0)
n!
(x − x0)
n.
Poznámka
Pokud víme, že mocninná řada je Taylorovou řadou nějaké funkce
f na intervalu (x0 − r , x0 + r ) a chceme-li určit součet číselné řady
pro konkrétní x ∈ (x0 − r , x0 + r ), stačí pouze určit hodnotu f (x).
Taylorovy (Maclaurinovy) řady elementárních funkcí :
e
x = 1 +
x
1!
+
x 2
2!
+ · · · =
∞
X
n=0
x n
n!
,
x ∈ R
sin x =
x
1!
−
x 3
3!
+
x 5
5!
− · · · =
∞
X
n=0
(−1)
n
x 2n+1
(2n + 1)!
,
x ∈ R
cos x = 1 −
x 2
2!
+
x 4
4!
− · · · =
∞
X
n=0
(−1)
n
x 2n
(2n)!
,
x ∈ R
ln(1 + x ) =
x
1
−
x 2
2
+
x 3
3
− · · · =
∞
X
n=1
(−1)
n−1 x
n
n
,
x ∈ (−1, 1i
arctg x =
x
1
−
x 3