23.a 24.prednaska z BMA1 - nekonečné č. řady, mocninné řady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Věta
Buď
∞
P
n=0
cn(x − x0)
n mocninná řada s poloměrem konvergence r .
Potom rozlišujeme tři základní případy:
(i) r = 0 a řada konverguje jen ve svém středu, tj. v bodě x = x0.
(ii) r ∈ (0, ∞) a řada konverguje pro x ∈ (x0 − r , x0 + r ).
(iii) r = ∞ a řada konverguje pro x ∈ (−∞, ∞).
Navíc, pro poloměr konvergence r platí
r = lim
n→∞
1
n
p|cn|
nebo
r = lim
n→∞
cn
cn+1
.
Pokud ani jedna z výše uvedených limit neexistuje, tak se poloměr
spočítá pomocí univerzálního vztahu
r =
1
lim sup
n
p|cn|
.
Příklad
Určete obor konvergence následujících mocniných řad:
(i)
∞
P
n=1
(x −1)n
n
,
(ii)
∞
P
n=1
2n
n2
x n,
(iii)
∞
P
n=1
x n
n! ,
(iv)
∞
P
n=1
nn(x + 3)n,
(v)
∞
P
n=1
1 +
1
n
n
2
x n.
Řešení: (i) h0, 2),
(ii) h−
1
2 ,
1
2 i,
(iii) (−∞, ∞),
(iv) −3,
(v) (−
1
e ,
1
e ).
Součet mocninných řad pomocí derivování a
integrování geometrické řady
Věta (Derivování a integrování mocninných řad)
Nechť mocninná řada
∞
P
n=0
cnx
n (se středem v bodě x0 = 0) má
poloměr konvergence r > 0. Potom
(i) součet této řady je spojitá funkce na intervalu (−r , r ).
(ii) pro všechna x ∈ (−r , r ) platí
∞
X
n=0
cn
x n+1
n + 1
=
∞
X
n=0
Z
x
0
cn X
ndX
=
Z
x
0
∞
X
n=0
cn X
n
!
dX .
(iii) pro všechna x ∈ (−r , r ) platí
∞
X
n=0
ncnx
n−1 =
∞
X
n=0
(cnx
n)
0
=
∞
X
n=0
cnx
n
!
0
.
Příklad
S využitím předešlé věty a geometrické řady
∞
P
n=0
x n určete součet
(i) mocninné řady
∞
P
n=1
x n
n a číselné řady
∞
P
n=1
1
n2n ,
(ii) mocninné řady
∞
P
n=1
nx n a číselné řady
∞
P
n=1
n
2n .
U mocninných řad určete pro jaká x součet platí.
Řešení:
(i)
∞
P
n=1
x n
n = − ln|1 − x |
pro x ∈ h−1, 1)
a
∞
P
n=1
1
n2n = ln 2,
(ii)
∞
P
n=1
nx n =
x
(1 − x )2
pro x ∈ (−1, 1)
a
∞
P
n=1
n
2n = 2.