23.a 24.prednaska z BMA1 - nekonečné č. řady, mocninné řady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
3
+
x 5
5
− · · · =
∞
X
n=0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
,
x ∈ h−1, 1i
Příklad
S využitím derivování, integrování a součtu nekonečné geometrické
řady odvoďte předešlý vzorec pro Maclaurinovu řadu funkce:
(i) f (x ) = ln(1 + x ),
(ii) f (x ) = arctg x a vyjádřete π jako součet číselné řady.
[Řešení:
π = 4 (1 −
1
3 +
1
5 −
1
7 +
1
9 −
1
11 + · · · ) ]
Příklad
S využitím známých Maclaurinových řad určete součet
(i) mocninné řady
∞
P
n=0
(−1)n
n!
x 2n a číselné řady
∞
P
n=0
(−2)n
n!
,
(ii) mocninné řady
∞
P
n=0
(−3)n
(2n)! x
n a číselné řady
∞
P
n=0
(−3)n
(2n)! .
Řešení:
(i)
∞
P
n=0
(−1)n
n!
x 2n = e−x
2
pro x ∈ R a
∞
P
n=0
(−2)n
n!
=
1
e2
,
(ii)
∞
P
n=0
(−3)n
(2n)! x
n = cos
√
3x
pro x ∈ R a
∞
P
n=0
(−3)n
(2n)! = cos
√
3.
Document Outline
- Nekonecné císelné rady a urcování jejich souctu
- Kritéria konvergence pro nezáporné císelné rady
- Alternující císelné rady a kritérium konvergence
- Mocninné rady a jejich obor konvergence
- Soucet mocninných rad pomocí derivování a integrování geometrické rady
- Taylorova a Maclaurinova mocninná rada a jejich soucet