23.a 24.prednaska z BMA1 - nekonečné č. řady, mocninné řady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(i) Konverguje-li řada
∞
P
n=1
bn, potom konverguje i řada
∞
P
n=1
an.
(ii) Diverguje-li řada
∞
P
n=1
an, potom diverguje i řada
∞
P
n=1
bn.
Poznámka
Často srovnáváme s řadami
∞
P
n=1
1
n2
a
∞
P
n=1
1
n . První řada konverguje,
druhá řada diverguje.
Příklad
Pomocí srovnávacího kritéria určete, zda konverguje či diverguje:
(i)
∞
P
n=1
1
n
√
5+2n
,
(ii)
∞
P
n=1
1
ln(n+2) .
Řešení: (i) konverguje,
(ii) diverguje.
Věta (Integrální kritérium)
Nechť funkce f je definovaná na intervalu h1, ∞), kde je kladná a
klesající. Dále nechť an = f (n) pro n ∈ N. Potom řada
∞
P
n=1
an
(i) konverguje, právě když konverguje integrál
R
∞
1
f (x ) dx .
(ii) diverguje, právě když diverguje integrál
R
∞
1
f (x ) dx .
Příklad
Pomocí integrálního kritéria určete, zda konverguje či diverguje:
(i)
∞
P
n=1
1
(n+1) ln(n+1) ,
(ii)
∞
P
n=1
1
nk
, pro k > 0.
Řešení: (i) diverguje,
(ii) pro k ∈ (0, 1i diverguje,
pro k ∈ (1, ∞) konverguje.
Věta (Odmocninové kritérium)
Nechť
∞
P
n=1
an je řada s nezápornými členy. Pokud
(i) lim
n→∞
n
√
an < 1, řada konverguje.
(ii) lim
n→∞
n
√
an > 1, řada diverguje.
(iii) lim
n→∞
n
√
an = 1, nelze na základě tohoto kritéria rozhodnout.
Příklad
Pomocí odmocninového kritéria určete, zda konverguje či diverguje:
(i)
∞
P
n=1
1
arctg n
n
,
(ii)
∞
P
n=1
n
(2+
1
n )
n
.
Řešení: (i) konverguje,
(ii) konverguje.
Věta (Podílové kritérium)
Nechť
∞
P
n=1
an je řada s kladnými členy. Pokud
(i) lim
n→∞
an+1
an
< 1, řada konverguje.
(ii) lim
n→∞
an+1
an
> 1, řada diverguje.
(iii) lim
n→∞
an+1
an
= 1, nelze na základě tohoto kritéria rozhodnout.
Příklad
Pomocí podílového kritéria určete, zda konverguje či diverguje:
(i)
∞
P
n=1
n2
n! ,
(ii)
∞
P
n=1
nn
2n n! .
Řešení: (i) konverguje,
(ii) diverguje.
Alternující číselné řady a kritérium konvergence
Definice (alternující řady)
Nekonečná řada
∞
P
n=1
an, an 6= 0, se nazývá alternující, právě když