23.a 24.prednaska z BMA1 - nekonečné č. řady, mocninné řady

libovolné dva po sobě jdoucí členy mají opačná znaménka, tj. platí

sgn an+1 = − sgn an

pro všechna n ∈ N.

Poznámka

Každou alternující řadu

∞

P

n=1

an lze psát ve tvaru

∞

X

n=1

(−1)

n−1b

n

nebo

∞

X

n=1

(−1)

nb

n,

kde bn > 0 pro všechna n ∈ N.

Věta (Leibnizovo kritérium konvergence)

Nechť {bn}

∞

n=1 je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Potom

alternující řada

∞

P

n=1

(−1)n−1bn konverguje, právě když lim

n→∞

bn = 0.

Příklad
Pomocí Leibnizovo kritéria určete, zda konverguje či diverguje:

(i)

∞

P

n=1

(−1)n−1

1
n ,

(ii)

∞

P

n=1

(−1)n

n

9n−1 ,

(iii)

∞

P

n=1

(−1)n

1

n−ln n .

Řešení: (i) konverguje,

(ii) diverguje,

(iii) konverguje.

Poznámka

U alternujících řad

∞

P

n=1

an rozlišujeme dva druhy konvergence:

I

absolutní -

∞

P

n=1

an i

∞

P

n=1

|an| konvergují (při různých součtech).

I

neabsolutní -

∞

P

n=1

an konverguje, ale

∞

P

n=1

|an| diverguje.

Příklad
Rozhodněte o konvergenci či divergenci následujících řad. Pokud
řada konverguje, určete zda konverguje absolutně či neabsolutně.

(i)

∞

P

n=1

(−1)n

1

4

√

n5+2n+1

,

(ii)

∞

P

n=1

(−1)n−1

1

1+sin2 n

,

(iii)

∞

P

n=1

(−1)n

arctg n

n

,

(iv)

∞

P

n=2

(−1)n

1

n ln2 n

,

(v)

∞

P

n=1

(−1)n−1

n!

nn .

Řešení: (i) konverguje absolutně,

(ii) diverguje,

(iii) konverguje neabsolutně,

(iv) konverguje absolutně,

(v) konverguje absolutně.

Mocninné řady a jejich obor konvergence

Definice (Nekonečná mocninná řada)

Nechť {cn}

∞

n=0 je posloupnost reálných čísel a x0 ∈ R. Funkční

řada proměnné x nebo-li polynom stupně ∞ ve tvaru

∞

X

n=0

cn(x − x0)

n = c

0 + c1(x − x0) + · · · + cn(x − x0)

n + · · ·

se nazývá mocninná řada se středem v bodě x0. Množinu všech
x , pro které mocninná řada konverguje, nazýváme oborem
konvergence mocninné řady.

Poznámka
Dá se ukázat, že oborem konvergence mocninné řady je vždy
interval tvaru

(x0 − r , x0 + r ),

kde r ≥ 0

je tzv. poloměr konvergence mocninné řady (popřípadě může být
předchozí interval v libovolném svém krajním bodě uzavřený).