23.a 24.prednaska z BMA1 - nekonečné č. řady, mocninné řady

∞

P

n=1

an nebo řada

∞

P

n=1

k an

konverguje, potom konvergují obě řady a platí

∞

P

n=1

k an = k

∞

P

n=1

an.

Věta (Asociativita u konvergentních řad)

Nechť řada

∞

X

n=1

an = a1 + a2 + · · · + an + · · ·

konverguje. Potom konverguje (a má stejný součet) i řada, která

vznikne z řady

∞

P

n=1

an libovolným uzávorkováním její pravé strany.

Poznámka
Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Viz např.:

[1 + (−1)] + [1 + (−1)] + · · · 6= 1 + (−1) + 1 + (−1) + · · · .

Definice (Přerovnání řady)

Nechť

∞

P

n=1

an je nekonečná řada. Symbolem

∞

P

n=1

ak

n budeme značit

řadu, která vznikla z řady

∞

P

n=1

an libovolným

”

přeskupením“ jejich

členů. Říkáme, že řada

∞

P

n=1

ak

n vznikla přerovnáním řady

∞

P

n=1

an.

Věta (Přerovnání absolutně konvergentní řady - komutativita)

Nechť řada

∞

P

n=1

an konverguje absolutně. Potom konverguje

absolutně také každé její přerovnání

∞

P

n=1

ak

n a platí

∞

P

n=1

ak

n =

∞

P

n=1

an.

Věta (Přerovnání neabsolutně konvergentní řady)

Nechť řada

∞

P

n=1

an konverguje neabsolutně a nechť s ∈ R

∗ je lib.

Pak existuje přerovnání

∞

P

n=1

ak

n řady

∞

P

n=1

an takové, že

∞

P

n=1

ak

n = s .

Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady

V této kapitole uvažujme pouze řady s nezápornými členy, tj. pro

každou řadu

∞

P

n=1

an, platí an ≥ 0 pro všechna n ∈ N.

Věta (Nutná podmínka konvergence)

Jestliže řada

∞

P

n=1

an konverguje, pak platí lim

n→∞

an = 0.

Příklad
Na základě nutné podmínky konvergence rozhodněte o konvergenci
či divergenci následujících řad:

(i)

∞

P

n=1

n2+n−1

6n2+7n+5

,

(ii)

∞

P

n=1

1

arctg n ,

(iii)

∞

P

n=1

1

ln(n+2) .

Řešení: (i) diverguje,

(ii) diverguje,

(iii) nelze rozhodnout.

Věta (Srovnávací kritérium)

Nechť

∞

P

n=1

an,

∞

P

n=1

bn jsou řady s nezápornými členy a nechť existuje

n0 ∈ N, takové že an ≤ bn pro všechna n ≥ n0. Potom platí: