23.a 24.prednaska z BMA1 - nekonečné č. řady, mocninné řady

∞

X

n=1

1

n2

= 1 +

1

4

+

1

9

+ · · · +

1

n2

+ · · · =

π2

6

.

I

Harmonická řada, která (určitě) diverguje :

∞

X

n=1

1

n

= 1 +

1

2

+

1

3

+ · · · +

1

n

+ · · · = ∞.

I

Leibnizova řada, která (neabsolutně) konverguje :

∞

X

n=1

(−1)

n−1 1

n

= 1 −

1

2

+

1

3

− · · · + (−1)n−1

1

n

+ · · · = ln 2.

I

Grandiho řada, která (osciluje) diverguje :

∞

X

n=1

(−1)

n−1 = 1+(−1)+1+(−1)+· · ·+(−1)n−1+· · · = Neex.

I

Geometrická řada - podrobně viz další slaid.

Věta (Součet nekonečné geometrické řady)

Nechť

a + aq + · · · + aq

n−1 + · · · =

∞

X

n=1

aq

n−1,

kde a > 0, q 6= 0,

je nekonečná geometrická řada s kvocientem q. Potom

(i) pro q ∈ (−∞, −1i řada osciluje.

(ii) pro q ∈ (−1, 1) řada konverguje a má součet

s =

∞

X

n=1

aq

n−1 =

a

1 − q

.

(iii) pro q ∈ h1, ∞) řada určitě diverguje k ∞ .

Poznámka
Důkaz věty se provede vypočítáním limity posloupnosti částečných
součtů pro jednotlivé případy - viz přednáška.

Příklad
S využitím součtu geometrické řady nebo rozkladem na parciální
zlomky sečtěte následující řady:

(i)

∞

P

n=1

3n+2n

6n

,

(ii)

∞

P

n=1

1

n2+n

,

(iii)

∞

P

n=1

n

2n ,

(iv)

∞

P

n=1

1

4n2−1

.

Řešení: (i)

3
2 ,

(ii) 1,

(iii) 2,

(iv)

1
2 .

Příklad
S využitím geometrické řady vyjádřete číslo 0, 07¯

8 jako zlomek.

Řešení:

71

900 .

Věta (Operace s konvergentními řadami)

Nechť c1, c2 ∈ R. Nechť

∞

P

n=1

an,

∞

P

n=1

bn jsou konvergentní řady se

součty

∞

X

n=1

an = s,

∞

X

n=1

an = t.

Potom konverguje i řada

∞

P

n=1

(c1an + c2bn) a platí

∞

X

n=1

(c1an + c2bn) = c1s + c2t.

Poznámka

Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Tj. z konvergence

∞

P

n=1

(an + bn)

neplyne konvergence

∞

P

n=1

an,

∞

P

n=1

bn. Viz řada

∞

P

n=1

((−1)n−1 + (−1)n)

Věta (Distributivita u konvergentních řad)

Nechť k ∈ R, k 6= 0. Jestliže řada