Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
dx
x
dx
x
1
.
)
ln(
)
ln(
∫
∫
=
Koeficient v podobě jedničky je tak cenný, že si samozřejmě nemůžeme dovolit jej ztratit
nesmyslným vytknutím či nezobrazením. Víme totiž, že při aplikaci per partes funkci '
u
vždy integrujeme a funkci v derivujeme. Proč bychom tedy nemohli prohlásit,
že
1
'
=
u
a
)
ln(
x
v
=
a funkci
)
ln(
x místo integrování derivovat? Zapišme si rovnou:
1
'
=
u
)
ln(
x
v
=
x
u
u
=
=
∫ '
x
v
1
'
=
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
)
ln(
.
1
)
ln(
.
1
.
)
ln(
.
1
.
)
ln(
Odpověď:
k
x
x
x
dx
x
+
−
=
∫
)
ln(
.
)
ln(
101
Odvození vzorce pro integraci per partes
Závěrem této podkapitoly bych chtěl pro zajímavost čtenáři navrhnout, aby si
zkusil vzorec pro per partes odvodit sám. Napovím, že vyplývá jednoduše z pravidla pro
derivaci součinu.
Pokud si chce čtenář svůj postup zkontrolovat, odvození vzorce jsem rozepsal
níže:
Jak jsem už sdělil, vycházíme z pravidla pro derivaci součinu, který říká:
'
'
)'
.
(
uv
v
u
v
u
+
=
Rovnají-li se dvě funkce, rovnají se samozřejmě i jejich integrály. Jinými slovy, pokud
platí, že levá strana se rovná pravé, pak i integrál levé strany se rovná integrálu pravé:
(
)
∫
∫
+
=
'
'
)'
(
uv
v
u
uv
Jelikož levá strana ve výše uvedené rovnici je integrálem derivace, zjednodušíme ji tím,
že odstraníme značku integrálu i značku derivace:
(
)
∫
+
=
'
'
uv
v
u
uv
Pravá strana rovnice je integrálem součtu. Protože integrál součtu je roven součtu
integrálů, můžeme ji takto upravit:
( ) ( )
∫
∫
+
=
'
'
uv
v
u
uv
Jeden z integrálů součinu převedeme na levou stranu rovnice: