Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u
obsahuje „už jen“ její derivaci. Uvědomme si, že derivací mnohých funkcí (byť
i několikerou) můžeme získat konstantu. A získáme-li derivací funkce v konstantu,
můžeme ji klidně vytknout před integrál – a v řešení už máme rázem pouze integrál
jedné funkce u . Neboli můžeme napsat, že pokud '
v je konstantou k , bude
∫
)
'
.
( v
u
odpovídat
∫
)
.
( u
k
, což se rovná
∫u
k.
. Tím se zbavíme integrálu součinu v řešení.
Není nad praxi. Ukažme si nejdříve řešení jednoduchého příkladu, kdy již po první
derivaci získáme konstantu:
Zadání: Vypočtěte
dx
x
x
∫
)
cos(
.
5
Řešení: Jde o integrál součinu funkcí x
5 a
)
cos(x . Jelikož vzorec per partes k řešení
integrálu součinu dvou funkcí
∫
∫
−
=
)
'
.
(
.
)
'.
(
v
u
v
u
v
u
předpokládá, že jedna z daných funkcí
je
'
u a druhá
v , musíme si vhodně zvolit, kterou z funkcí prohlásíme za
'
u a kterou za
v . Jelikož cílem je získat derivováním funkce v konstantu, zvolíme si za
v tu funkci, jejíž derivací je konstanta. A protože
5
)'
5
(
=
x
, můžeme zvolit, že
x
v
5
=
.
Velmi důležité pro přehlednost je po zvolení funkcí okamžitě napsat, čemu se rovná '
u ,
v , u a '
v :
)
cos(
'
x
u
=
x
v
5
=
)
sin(
'
x
u
u
=
=
∫
5
'
=
v
Nyní si výše vypsané funkce prostě doplníme do vzorce:
dx
x
x
x
dx
x
x
∫
∫
−
=
5
).
sin(
5
).
sin(
5
).
cos(
Konstantu vytkneme před integrál:
dx
x
x
x
∫
−
=
)
sin(
5
5
).
sin(
Vyřešíme integrál: