Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
vzorce:
Druhá aplikace per partes:
Budeme integrovat prvek
∫
dx
x
e
x
)
cos(
. Volba funkcí musí být tentokrát stejná, jako
v prvním případě. Proto zvolme:
x
e
u
=
'
)
cos(
x
v
=
x
e
u
u
=
=
∫ '
)
sin(
'
x
v
−
=
Zapišme podle vzorce:
∫
∫
∫
+
=
−
−
=
dx
x
e
x
e
dx
x
e
x
e
dx
x
e
x
x
x
x
x
)
sin(
)
cos(
.
))
sin(
(
)
cos(
.
)
cos(
.
V tomto okamžiku nám již vznikl takový integrál, jaký je v zadání úlohy. Cyklus se
uzavřel. Vložme si tedy tento dílčí výsledek do celého dosavadního řešení:
(
)=
+
−
=
−
=
∫
∫
∫
dx
x
e
x
e
x
e
dx
x
e
x
e
dx
e
x
x
x
x
x
x
x
)
sin(
)
cos(
.
)
sin(
.
)
cos(
)
sin(
.
).
sin(
∫
−
−
dx
x
e
x
e
x
e
x
x
x
)
sin(
)
cos(
.
)
sin(
.
Postavme si nyní zadání a toto poslední dosavadní řešení do rovnice:
∫
∫
−
−
=
dx
x
e
x
e
x
e
dx
e
x
x
x
x
x
)
sin(
)
cos(
.
)
sin(
.
).
sin(
100
Vyřešme rovnici:
)
cos(
.
)
sin(
.
).
sin(
2
x
e
x
e
dx
e
x
x
x
x
−
=
∫
2
)
cos(
.
)
sin(
.
).
sin(
x
e
x
e
dx
e
x
x
x
x
−
=
∫
Odpověď:
k
x
e
x
e
dx
e
x
x
x
x
+
−
=
∫
2
)
cos(
.
)
sin(
.
).
sin(
„Utajený součin“
Metoda per partes nám ve specifických případech umožňuje integrovat i takové
funkce, u nichž na první pohled součin nevidíme. Řešením úloh takového typu nelze upřít
jistou dávku diplomatického šarmu. Velmi elegantním trikem je kupříkladu důvtipná
aplikace per partes k vyřešení následující úlohy:
Zadání:
Vyřešte
dx
x
∫
)
ln(
.
Řešení: Integrační vzorec pro přirozený logaritmus se obvykle v tabulkách neuvádí.
Zkusme se na daný problém podívat trošku jinak – ne vždy spočívá moudrost v
jednoduchosti. Klíč k řešení nalezneme, uvědomíme-li si, že integrovaná funkce je také
součinem dvou funkcí: