Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u a v .
Vzhledem k povaze obou funkcí je v tomto případě zcela lhostejné, jak dané funkce
přiřadíme. Zvolme si třeba toto:
)
sin(
'
x
u
=
)
cos(
x
v
=
)
cos(
'
x
u
u
−
=
=
∫
)
sin(
'
x
v
−
=
Přistupme k zápisu pomocí vzorečku:
∫
∫
−
−
=
dx
x
x
x
dx
x
x
)
cos(
).
sin(
)
(
cos
)
cos(
).
sin(
2
Nyní si výše uvedené dílčí řešení důkladně prohlédněme. Čtenářově pozornosti jistě
neunikl pozoruhodný jev: Zadáním je
∫
dx
x
x
)
cos(
).
sin(
, který se v nezměněné podobě
objevil také jako součást řešení! Cyklus se uzavřel. Proto se na výše uvedený řádek
podívejme jako na rovnici:
∫
∫
−
−
=
dx
x
x
x
dx
x
x
)
cos(
).
sin(
)
(
cos
)
cos(
).
sin(
2
Výraz
∫
dx
x
x
)
cos(
).
sin(
převedeme na levou stranu rovnice přičtením k oběma stranám:
)
(
cos
)
cos(
).
sin(
2
2
x
dx
x
x
−
=
∫
Obě strany rovnice vydělíme dvěma:
2
)
(
cos
)
cos(
).
sin(
2
x
dx
x
x
−
=
∫
Tím jsme získali řešení.
Odpověď:
k
x
dx
x
x
+
−
=
∫
2
)
(
cos
)
cos(
).
sin(
2
99
U některých podobných úloh musíme aplikovat per partes vícekrát, abychom
získali v dílčím řešení integrál identický se zadáním (neboli aby se cyklus uzavřel). Jako
vzor nám dobře poslouží následující příklad:
Zadání: Vyřešte
∫
dx
e
x
x
).
sin(
Řešení:
První aplikace per partes:
Opět je vzhledem k povaze obou funkcí je v tomto případě zcela lhostejné, jak dané
funkce přiřadíme. Zvolme si třeba takto:
x
e
u
=
'
)
sin(
x
v
=
x
e
u
u
=
=
∫ '
)
cos(
'
x
v
=
Zapišme podle vzorce:
∫
∫
−
=
dx
x
e
x
e
dx
e
x
x
x
x
)
cos(
)
sin(
.
).
sin(
V dosavadním řešení zbývá nedořešený prvek
∫
dx
x
e
x
)
cos(
. Rozepíšeme jej podle