Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(
)
)
cos(
5
)
sin(
5
)
cos(
.
5
5
).
sin(
x
x
x
x
x
x
+
=
−
−
=
V odpovědi bychom neměli zapomenout zapsat výsledek s přidaným k
+ .
Odpověď:
k
x
x
x
dx
x
x
+
+
=
∫
)
cos(
5
)
sin(
5
)
cos(
.
5
96
Určitě se však setkáme také s takovou úlohou, kdy konstantu můžeme získat až
druhou či dokonce vícerou derivací. V takovém případě prostě postup integrace per
partes opakujeme, dokud nám konstanta nevznikne. Poté ji opět vytkneme před integrál
a úlohu normálně dořešíme. To ukazuje následující příklad:
Zadání: Vypočtěte
dx
x
x
∫
)
sin(
.
3
Řešení: Jde o integrál součinu funkcí
3
x a
)
sin( x . Ačkoliv konstantu nemůžeme získat
derivací ani jedné z těchto funkcí, můžeme ji získat několikerou derivací funkce 3
x . Proto
prohlásíme
3
x
v
=
a budeme integrovat součiny funkcí metodou per partes tak dlouho,
dokud nám konstanta nevznikne.
První aplikace per partes:
Nejdříve si samozřejmě vypíšeme seznam všech potřebných funkcí:
)
sin(
'
x
u
=
3
x
v
=
)
cos(
'
x
u
u
−
=
=
∫
2
3
'
x
v
=
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
∫
∫
∫
+
−
=
−
−
−
=
2
3
2
3
3
).
cos(
3
).
cos(
3
).
cos(
).
cos(
).
sin(
Druhá aplikace per partes:
V předchozí aplikaci per partes nám ve výsledku zůstal nedořešený výraz
dx
x
x
∫
2
).
cos(
,
proto na něj aplikujeme per partes znovu.
)
cos(
'
x
u
=
2
x
v
=
)
sin(
'
x
u
u
=
=
∫
x
v
2
'
=
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
∫
∫
∫
−
=
−
=
).
sin(
2
)
sin(
.
2
).
sin(
).
sin(
).
cos(
2
2
2
Abychom nezapomněli, že tento dílčí výsledek je pouhou částí výsledku první aplikace per
partes, napíšeme si raději dosavadní řešení celé:
(
)=
−
+
−
=
+
−
∫
∫
dx
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
).
sin(
2
)
sin(
.
3
).
cos(
).
cos(
3
).
cos(
2
3
2
3
)
cos(
).
sin(
6
)
sin(
.
3
3
2
x
x
dx
x
x
x
x
−
−
∫
Zbývá nám dořešit integrál