Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
dx
x
x
∫
).
sin(
. Už na první pohled půjde o poslední aplikaci per
partes, neboť derivací
x
v
= získáme
1
'
=
v
. Takovou pěknou konstantu nebude potřeba
ani vytýkat.
97
Třetí aplikace per partes:
Dořešíme
dx
x
x
∫
).
sin(
.
)
sin(
'
x
u
=
x
v
=
)
cos(
'
x
u
u
−
=
=
∫
1
'
=
v
)
cos(
.
)
sin(
)
cos(
).
cos(
1
).
cos(
).
cos(
).
sin(
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
−
=
+
−
=
−
−
−
=
∫
∫
∫
Tento dílčí výsledek vložíme do celého dosavadního řešení a zápis „kosmeticky“
dokončíme provedením vhodných algebraických úprav:
(
)
=
−
−
−
=
−
−
∫
)
cos(
)
cos(
.
)
sin(
6
)
sin(
.
3
)
cos(
).
sin(
6
)
sin(
.
3
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
)
6
)(
cos(
)
2
)(
sin(
3
)
cos(
)
cos(
.
6
)
sin(
6
)
sin(
.
3
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
+
−
Odpověď:
k
x
x
x
x
x
dx
x
x
+
−
+
−
=
∫
)
6
)(
cos(
)
2
)(
sin(
3
)
sin(
.
3
2
3
98
„Cyklický integrál“
Ne vždy se při zadání úlohy na integrál součinu dvou funkcí vyskytuje taková
funkce, jejíž derivací (byť několikerou) lze získat konstantu. Typickým příkladem funkcí,
která se derivacemi nijak nezjednodušují, jsou funkce sinus, cosinus či třeba
x
e . Co když
dostaneme za úkol integrovat součin dvou funkcí, z nichž obě se budou vyznačovat
takovouto „neoblomností“?
I v mnohých takových případech nám může metoda per partes pomoci. Princip
takového řešení spočívá v tom, že následkem postupné aplikace per partes se jako část
dílčího řešení objeví tentýž integrál, jakým je zadání. Takovou situaci lze následně řešit
jako rovnici. Nejlépe nám to ilustrují následující dvě úlohy s řešením:
Zadání: Vyřešte
∫
dx
x
x
)
cos(
).
sin(
Řešení: Zdánlivým vzhledem neřešitelnosti se nenecháme odradit a zahájíme řešení
metodou per partes. Začneme pochopitelně volbou vhodných přiřazení funkcí '