Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Plocha mezi křivkou dané funkce f a úsekem osy x ohraničeným zleva
bodem r a zprava bodem je rovna rozdílu funkční hodnoty F pro číslo s a
funkční hodnoty F pro číslo r , přičemž F je taková funkce, jejíž derivací je
funkce f .
Matematický zápis výše Newtonova-Leibnizova vzorce je tedy následující:
)
(
)
(
)
(
r
F
s
F
dx
x
f
s
r
−
=
∫
|
f
F
=
'
Z výše uvedeného postupu a vzorce vyplývá, že k výpočtu určitého integrálu dané
funkce f je zapotřebí umět vytvořit speciální funkci F takovou, jejíž derivací je funkce
f . Funkce F , jejíž derivací je funkce f , se nazývá primitivní funkce k funkci f
neboli neurčitý integrál funkce f . Ten se značí
∫
dx
x
f
)
(
.
Abychom si ukázali řešení jednoduché úlohy na integrál na pěkném konkrétním
případě, přistupme nyní k řešení následujícího příkladu:
Zadání: Vypočtěte velikost plochy mezi křivkou funkce sinus a osou x, ohraničené body
0 a
π na ose x.
Řešení:
Plochu vypočteme určitým integrálem v integračních mezích 0 a
π . Zapišme si
známá fakta:
)
sin(
)
(
x
x
f
=
0
=
r
π
=
s
Použijeme Newtonův-Leibnizův vzorec:
)
(
)
(
)
(
r
F
s
F
dx
x
f
s
r
−
=
∫
K použití tohoto vzorce musíme vytvořit primitivní funkci F k funkci f , neboli musíme
vytvořit neurčitý integrál funkce sinus. Tou je taková funkce, jejíž derivací je sinus.
Z derivačních vzorců víme, že