Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
)
(x
f
. Hodnota nulté derivace v bodě
0
x pochopitelně odpovídá její funkční
hodnotě v témž bodě.)
Jelikož nemůžeme počítat nekonečné množství derivací, spokojíme se jen
s určitým počtem derivací, který označme n . Pak si ovšem výše uvedený předpoklad
můžeme upravit do následujícího znění: Mají-li tedy funkce f a g shodnou nultou,
první, druhou, třetí až
−
n
tou derivaci v nějakém bodě, mají v okolí tohoto bodu
i velmi podobnou funkční hodnotu.
Praktické nalezení Taylorova polynomu
V tomto okamžiku už musíme vycházet z výše uvedeného předpokladu a uvědomit
si již přesněji, co hledáme: Hledáme výraz tvaru
n
n x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
+
+
+
+
...
3
3
2
2
1
1
0
0
,
jehož nultá derivace (funkční hodnota) v bodě
0
x je shodná s nultou derivací
původní funkce f v bodě
0
x , první derivace v bodě
0
x shodná s první derivací
původní funkce f v bodě
0
x , druhá derivace v bodě
0
x shodná s druhou
derivací původní funkce f v bodě
0
x , třetí derivace v bodě
0
x shodná s třetí
derivací původní funkce f v bodě
0
x , až n -tá derivace v bodě
0
x shodná s n -
tou derivací původní funkce f v bodě
0
x . Tento požadavek můžeme tedy jednoduše
matematicky zapsat:
)
0
(
0
3
0
3
2
0
2
1
0
1
0
0
0
0
)
0
(
)
...
(
)
(
n
n x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
f
+
+
+
+
=
)
1
(
0
3
0
3
2
0
2
1
0
1
0
0
0
0
)
1
(
)
...
(
)
(
n
n x