Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
)
sin(
)
(
x
x
f
=
, jaký vliv má výše řádu
Taylorova polynomu na rozsah, v němž Taylorův polynom konverguje k původní funkci
f v okolí bodu
0
0 =
x
. Na každém z grafů jsou zakresleny dvě funkce – funkce
)
sin(x a
příslušný Taylorův polynom:
Funkce
)
sin(x a Taylorův polynom 1. řádu (odpovídá řešení
metodou diferenciálu).
x
x
g
=
)
(
Funkce
)
sin(x a Taylorův polynom 3. řádu.
3
!
3
1
)
(
x
x
x
g
−
=
Funkce
)
sin(x a Taylorův polynom 5. řádu.
5
3
!
5
1
!
3
1
)
(
x
x
x
x
g
+
−
=
Funkce
)
sin(x a Taylorův polynom 7. řádu.
7
5
3
!
7
1
!
5
1
!
3
1
)
(
x
x
x
x
x
g
−
+
−
=
Funkce
)
sin(x
a
Taylorův
polynom
9.
řádu.
9
7
5
3
!
9
1
!
7
1
!
5
1
!
3
1
)
(
x
x
x
x
x
x
g
+
−
+
−
=
Funkce
)
sin(x a Taylorův polynom 11. řádu.
11
9
7
5
3
!
11
1
!
9
1
!
7
1
!
5
1
!
3
1
)
(
x
x
x
x
x
x
x
g
−
+
−
+
−
=
Funkce
)
sin(x a Taylorův polynom 13. řádu.
13
11
9
7
5
3
!
13
1
!
11
1
!
9
1
!
7
1
!
5
1
!
3
1
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
g
+
−
+
−
+
−
=
85
Zajímavost: Kdyby se n rovnalo
∞ (výraz by byl součtem nekonečného počtu prvků),
šlo by o takzvanou Taylorovu řadu. Její průběh by byl naprosto totožný s původní funkcí
f . Proto můžeme zapsat, že pro každou analytickou funkci platí:
∑
∞
=
−
=
0
0
0
)
(
)
(
!
)
(
)
(
k
k
k
x
x
k
x
f
x
f
Jelikož je průběh nekonečné Taylorovy řady plně totožný s průběhem dané funkce
v celém jejím rozsahu, nezáleží vlastně vůbec na tom, jakou hodnotu bude mít
0
x .
A protože je zápis Taylorovy řady z pochopitelných důvodů nejjednodušší pro
0
0 =
x
,
můžeme si za