Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Ve skutečnosti jde o jednoduchý výraz, který je tvořen součtem určitého počtu
členů. Každý člen má vždy tvar
k
k
x
x
k
x
f
)
(
!
)
(
0
0
)
(
−
, kde výraz
)
(
0
)
(
x
f
k
v čitateli
znamená hodnotu k-té derivace původní funkce f v bodě
0
x , přičemž číslo k se rovná u
prvního členu 0, u druhého 1, u třetího 2, u čtvrtého 3, u
n
+
1
tého n . Celkový počet
členů je tedy roven
1
+
n
(nikoliv n , neboť k počítáme od nuly do n , nikoliv od jedné do
n ). Celkové n (pochopitelně celé kladné číslo) závisí na nás – čím vyšší n si zvolíme,
tím „delší“ Taylorův polynom bude, tím lépe bude konvergovat k původní funkci a bude
schopen ji při numerických výpočtech nahradit, a tím delší bude také rozsah, v jakém
bude k původní funkci konvergovat. Na druhé straně vysoké n znamená rovněž vyšší
obtížnost nejen při samotném tvoření Taylorova polynomu, nýbrž také při práci s ním.
82
Ze zápisu je patrné, že čím vyšší n si zvolíme, tím vyšší mocnina se nachází
v posledním členu a tím vyšší je také takzvaný řád Taylorova polynomu. Proto hovoříme
o Taylorovu polynomu n -tého řádu. Rozepišme si nyní Taylorův polynom pro
obecnou funkci f , třeba třetího řádu:
U prvního členu se k rovná 0, proto můžeme první člen zapsat takto: