Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
π (asi
3.14159265). Proto za
0
x zvolíme
π . Pro pořádek úhledně zapíšeme:
3
=
x
π
=
0
x
Nyní vytvoříme náhražkovou funkci g , která při výpočtu zastoupí původní funkci
)
sin(
)
(
x
x
f
=
.Tou bude afinní funkce, jejímž grafem je tečna k funkci
)
sin(x v bodě o
souřadnici
π
=
0
x
. Jak již víme (a jak si lze snadno odvodit), její obecnou rovnicí je:
)
).(
(
'
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
g
−
+
=
79
Obecnou rovnici upravíme do konkrétní hodnoty:
)
).(
(
sin'
)
sin(
)
(
π
π
π
−
+
=
x
x
g
Víme že derivací sinu je cosinus, proto:
)
).(
cos(
)
sin(
)
(
π
π
π
−
+
=
x
x
g
Známe hodnoty doplníme:
)
.(
1
0
)
(
π
−
−
=
x
x
g
Nakonec zjednodušíme:
x
x
g
−
=
π
)
(
Do této náhražkové funkce dosadíme za x a výsledek numericky vyjádříme:
14159265
,
0
3
14159265
,
3
3
)
(
=
−
≅
−
=
π
x
g
Protože je však řešení metodou diferenciálu jen přibližné, nemá smysl rozepisovat
výsledek na příliš mnoho desetinných čísel, protože desetitisíciny a drobnější desetinné
cifry stejně nebudou odpovídat skutečnosti. Proto se spokojme s číslem 0,141.
Odpověď: Hodnota funkce sinus pro číslo 3 je přibližně 0,141.
Pro ilustraci přikládám vyobrazení průběhu obou funkcí
(původní i náhražkové). Šikmá přímka se zápornou směrnicí je
grafem náhražkové funkce
x
x
g
−
=
π
)
(
. Jak je vidět,
v krátkém úseku v okolí čísla
π
=
0
x
má skutečně podobný
průběh, jako funkce sinus.
Praktická poznámka
Máte-li kalkulátor, který počítá goniometrické funkce, můžete si přibližné