Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
)
(
!
)
(
0
0
)
(
x
x
k
x
f
k
−
=
0
0
0
)
(
!
0
)
(
x
x
x
f
−
=
)
(
0
x
f
V případě druhého členu se k rovná 1, proto druhý člen má tvar:
)
(
!
)
(
0
0
)
(
x
x
k
x
f
k
−
=
1
0
0
)
(
!
1
)
(
'
x
x
x
f
−
=
)
)(
(
'
0
0
x
x
x
f
−
Podobně vytvoříme člen pro
2
=
k
:
)
(
!
)
(
0
0
)
(
x
x
k
x
f
k
−
=
2
0
0
)
(
!
2
)
(
''
x
x
x
f
−
=
2
0
0
)
(
2
)
(
''
x
x
x
f
−
Zakončíme členem pro
3
=
k
:
)
(
!
)
(
0
0
)
(
x
x
k
x
f
k
−
=
3
0
0
)
(
!
3
)
(
''
'
x
x
x
f
−
=
3
0
0
)
(
6
)
(
''
'
x
x
x
f
−
Jelikož Taylorův polynom je součtem těchto členů, můžeme zapsat:
3
0
0
2
0
0
0
0
0
4
)
(
6
)
(
'
''
)
(
2
)
(
''
)
)(
(
'
)
(
)
(
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
Taylor
−
+
−
+
−
+
=
Důležité!!! Určitě si prohlédněte, jak vypadá obecný tvar Taylorova polynomu
prvního řádu! Jde totiž o výraz
)
)(
(
'
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
−
+
, který odpovídá náhražkové
funkci při numerických výpočtech pomocí diferenciálu, jejíž rovnicí je tečna k funkci f
v bodě
0
x . Tím se potvrzuje to, co bylo jsem naznačil už na počátku této kapitoly:
Taylorův polynom vyšších řádů tvoříme tak, že funkci
)
)(
(
'
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
g
−
+
=
rozšiřujeme přičítáním dalších speciálních členů, čímž se zvyšuje přesnost a rozsah,
v němž takto vzniklá funkce konverguje k původní funkci f v okolí bodu
0
x . Funkce
)
)(
(
'
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
g
−
+
=
, kterou používáme při aplikaci metody diferenciálu,
je vlastně Taylorovým polynomem 1. řádu.
83
V tomto okamžiku bude jistě užitečné nahlédnout do praxe. Vypočtěme si cvičně
následující úlohu:
Zadání: Vypočtěte přibližnou hodnotu