Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
)
4
1
sin(
.
Řešení:
Z čísel, pro která známe přesnou funkční hodnotu funkce sinus, vybereme takové číslo
0
x , které je co nejbližší číslu
4
1
=
x
. Takovým číslem je
0
0 =
x
. Nyní si musíme vytvořit
náhražkovou funkci g , která bude k funkci
)
sin(
)
(
x
x
f
=
v okolí bodu
0
x dobře
konvergovat. Touto funkcí budiž Taylorův polynom. Protože číslo
4
1
=
x
je číslu
0
0 =
x
poměrně blízké, předpokládejme, že postačí Taylorův polynom 5. řádu.
Nyní si rozepišme vzorec pro Taylorův polynom 5. řádu a doplňme známé hodnoty a
funkce:
120
6
120
1
0
6
1
0
0
)
0
(
120
)
0
cos(
)
0
(
24
)
0
sin(
)
0
(
6
)
0
cos(
)
0
(
2
)
0
sin(
)
0
)(
0
cos(
)
0
sin(
)
(
120
)
cos(
)
(
24
)
sin(
)
(
6
)
cos(
)
(
2
)
sin(
)
)(
cos(
)
sin(
)
(
!
5
)
(
''
''
'
)
(
!
4
)
(
''
''
)
(
!
3
)
(
''
'
)
(
!
2
)
(
''
)
(
!
1
)
(
'
)
(
!
0
)
(
)
(
!
)
(
)
sin(
5
3
5
3
5
4
3
2
5
0
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0
0
0
0
5
0
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
5
0
0
)
(
0
5
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
k
x
f
x
Taylor
k
k
k
x
+
−
=
+
+
−
−
+
=
−
+
−
+
+
−
−
−
−
−
+
=
−
+
−
+
+
−
−
+
−
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
−
=
−
=
∑
=
=
Jako náhražková funkce k funkci sinus nám tedy poslouží funkce:
120
6
)
(
5
3
x
x
x
x
g
+
−
=
Do této funkce dosadíme za x číslo, pro něž hledáme funkční hodnotu, tedy
4
1
:
24740397
,
0
122880
30401
122880
1
384
1
4
1
120
1024
1
6
64
1
4
1
120
4
1
6
4
1
4
1
5
3
=
=
+
−
=
+
−
=
+
−
Zadáme-li za účelem porovnání výsledků do kalkulačky
)
5
,
0
sin(
, vyjde nám: 24740396
,
0
Porovnáme-li výsledky, zjistíme, že ačkoliv 5. řád není mnoho, poskytl nám Taylorův
polynom 5. řádu již velmi uspokojivou přesnost numerického řešení.
84
Předveďme si nyní graficky na funkci