Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n
a , abychom si je mohli dosadit do obecného polynomu a tím
vypočítat náš konkrétní hledaný polynom. Proto si teď z výše uvedeného zápisu
vyjádřeme jednotlivá
k
a . Ačkoliv to někomu může připadat malicherné, napišme si daný
zápis opravdu detailně, tedy i se součiny faktoriálů nuly a jedničky, které se rovnají
jedné:
!
0
)
0
(
!
0
)
0
(
)
0
(
0
0
)
0
(
f
a
a
f
=
⇒
=
!
1
)
0
(
!
1
)
0
(
)
1
(
1
1
)
1
(
f
a
a
f
=
⇒
=
!
2
)
0
(
!
2
)
0
(
)
2
(
2
2
)
2
(
f
a
a
f
=
⇒
=
!
3
)
0
(
!
3
)
0
(
)
3
(
3
3
)
3
(
f
a
a
f
=
⇒
=
Obecně tedy:
!
)
0
(
!
)
0
(
)
(
)
(
n
f
a
a
n
f
n
n
n
n
=
⇒
=
11 Tento poznatek je obzvláště zajímavý. Vyplývá z něho pozoruhodný závěr o faktoriálu, a sice že n -tá
derivace funkce
x na n –tou je rovna faktoriálu n . Můžeme zapsat:
!
)
(
)
(
n
x
n
n
=
Ukažme si to ještě názorněji na následujícím příkladu:
!
5
5
.
4
.
3
.
2
)'
5
.
4
.
3
.
2
(
'
)'
5
.
4
.
3
(
''
)'
5
.
4
(
''
'
)'
5
(
''
''
)'
(
2
3
4
5
=
=
=
=
=
=
x
x
x
x
x
89
Teď už není nic snazšího, než si výše vyjádřené koeficienty dosadit do obecného
polynomu
n
n x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
+
+
+
+
...
3
3
2
2
1
1
0
0
. Konečná podoba tedy bude:
n
n
x
n
f
x
f
x
f
x
f
x
f
!
)
0
(
...
!
3
)
0
(
!
2
)
0
(
)
0
(
!
1
!
0
)
0
(
)
(
3
)
3
(
2
)
2
(
1
)
1
(
0
+
+
+
+
Takový polynom lze samozřejmě zjednodušeně zapsat takto:
∑
=
n
k
k
k
x
k
f
0
)
(
!
)
0
(
Podíváme-li se pozorně na výše uvedený zápis, zjistíme, že jsme si právě snadno odvodili
vzorec na Taylorův polynom n –tého řádu tak, aby konvergoval k funkci f v okolí bodu
0 , tedy pro
0
0 =
x
.
Abychom Taylorův polynom dotvořili do podoby umožňující aproximaci funkce v okolí
libovolného bodu